Dimostrazione criterio di Cauchy
Ciao a tutti,
durante il mio studio pre-esame mi sono imbattuto in questo criterio e ho notato che 'il lettore viene invitato a dimostrarlo'. Allora mi sono messo e man mano ho provato a dimostrare, solo che non riesco a capire addirittura da dove devo partire.
Il criterio è il seguente:
Sia $f:]a;b]->R$ una funzione integrabile secondo Riemann, in ogni sottointervallo chiuso contenuto in $]a,b]$. Allora f è integrabile in senso improprio in $]a,b]$ se e solo se per ogni $\epsilon > 0$ esiste $d>a$ tale che per ogni $c1 > d$ e $c2 > d$ si ha $ | \int_{c1}^{c2} f(x) dx | < \epsilon$ .
Trami le proprietà dell'integrale mi sono riuscito a ricavare e dimostrare l'esistenza di c1 e c2, ma non riesco a provare la tesi. Qualcuno di voi è così magnanimo da potermi aiutare? Grazie
Per essere sicuri che stiamo parlando dello stesso criterio posto un link alla definizione su wikipedia: link wiki
durante il mio studio pre-esame mi sono imbattuto in questo criterio e ho notato che 'il lettore viene invitato a dimostrarlo'. Allora mi sono messo e man mano ho provato a dimostrare, solo che non riesco a capire addirittura da dove devo partire.
Il criterio è il seguente:
Sia $f:]a;b]->R$ una funzione integrabile secondo Riemann, in ogni sottointervallo chiuso contenuto in $]a,b]$. Allora f è integrabile in senso improprio in $]a,b]$ se e solo se per ogni $\epsilon > 0$ esiste $d>a$ tale che per ogni $c1 > d$ e $c2 > d$ si ha $ | \int_{c1}^{c2} f(x) dx | < \epsilon$ .
Trami le proprietà dell'integrale mi sono riuscito a ricavare e dimostrare l'esistenza di c1 e c2, ma non riesco a provare la tesi. Qualcuno di voi è così magnanimo da potermi aiutare? Grazie
Per essere sicuri che stiamo parlando dello stesso criterio posto un link alla definizione su wikipedia: link wiki
Risposte
L'enunciato è sbagliato.
La convergenza è assicurata se per ogni \(\varepsilon >0\) esiste \(d >a\) tale che:
\[
\forall a
Per la dimostrazione, ti basta notare che quello è il classico criterio di convergenza di Cauchy applicato alla funzione integrale \(F(x):=\int_x^b f(t)\ \text{d} t\) nel punto \(a\).
La convergenza è assicurata se per ogni \(\varepsilon >0\) esiste \(d >a\) tale che:
\[
\forall a
Per la dimostrazione, ti basta notare che quello è il classico criterio di convergenza di Cauchy applicato alla funzione integrale \(F(x):=\int_x^b f(t)\ \text{d} t\) nel punto \(a\).
Quindi basta dire che $\lim_{x \to a^+} | F(b) - F(x) | < \epsilon$ ?
Scusa ma non ho proprio capito (mea culpa), non è che per favore puoi essere più chiaro?
-----
edit: avevo scritto male la formula del limite
Scusa ma non ho proprio capito (mea culpa), non è che per favore puoi essere più chiaro?
-----
edit: avevo scritto male la formula del limite
Il criterio di Cauchy ti assicura che \(F(x):=\int_x^b f(t)\ \text{d} t\) converge per \(x\to a^+\) se e solo se in corrispondenza di ogni \(\varepsilon >0\) esiste un \(\delta >0\) tale che per ogni \(c_1,c_2\in ]a,a+\delta[\) risulti:
\[
\tag{1}
|F(c_1)-F(c_2)|<\varepsilon\; ;
\]
posto \(d=a+\delta\) ed applicando la proprietà additiva dell'integrale in (1), trovi che \(F(x)\) converge per \(x\to a^+\) se e solo se per ogni \(c_1,c_2\in ]a,d[\) risulta:
\[
\left| \int_{c_1}^{c_2} f(t)\ \text{d} t\right|<\varepsilon\; ;
\]
dato che \(f\) è impropriamente integrabile in \([a,b]\) se esiste finito il \(\lim_{x\to a^+} F(x)\), è chiaro che la condizione precedente è necessaria e sufficiente alla integrabilità.
\[
\tag{1}
|F(c_1)-F(c_2)|<\varepsilon\; ;
\]
posto \(d=a+\delta\) ed applicando la proprietà additiva dell'integrale in (1), trovi che \(F(x)\) converge per \(x\to a^+\) se e solo se per ogni \(c_1,c_2\in ]a,d[\) risulta:
\[
\left| \int_{c_1}^{c_2} f(t)\ \text{d} t\right|<\varepsilon\; ;
\]
dato che \(f\) è impropriamente integrabile in \([a,b]\) se esiste finito il \(\lim_{x\to a^+} F(x)\), è chiaro che la condizione precedente è necessaria e sufficiente alla integrabilità.
Grazie, per la risposta. Noto anche che nella mia ultima risposta ho scritto una cavolata pazzesca.
Grazie ancora
Grazie ancora
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo