Dimostrazione criterio del rapporto

[pepper9]

Buongiorno,
sto studiando la dimostrazione del criterio del rapporto per le successioni reali nel caso in cui $(a_(n+1))/(a_n) -> l < 1$
la dimostrazione dice che considerando $m | lm_(\xi)$, $a_(n+1)/(a_n) e quindi ora possiamo scrivere
$a_(n+1)
Fino a qua tutto chiarissimo, poi la dimostrazione dice:

$a_(n+2)
mi potete spiegare come facciamo ad affermare questo?
esiste una rappresentazione grafica dei passaggi di questa dimostrazione?
Grazie

[Mephlip]

Fa lo stesso argomento precedente (quello con $m_{\xi}$), ma relativo all'indice $n+1$ e trova $a_{n+2}

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[pepper9]

Continuo a non capire...

[Mephlip]

Per ipotesi $\frac{a_{n+1}}{a_n} \to \l$, perciò anche $\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}} \to l$ in quanto è la stessa successione traslata di un indice avanti; perciò, dato $l < m < 1$, anche per essa esisterà un indice $m_\psi$ tale che per ogni $n \geq m_\psi$ risulterà $\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}} < m$.
Da quest'ultima quindi segue che $a_{n+2} < m \cdot a_{n+1}$, ma $a_{n+1}$ l'hai stimato prima ed è $a_{n+1} < m \cdot a_n$; mettendo tutto insieme hai $a_{n+2} < m \cdot a_{n+1} < m \cdot m \cdot a_n =m^2 a_n$.
Chiaramente, affinché valgano entrambe, deve essere $n \geq \max{m_\xi , m_\psi}$.

[pepper9]

Ah giusto! Non riuscivo a vederla in questo modo... adesso per è chiaro.
Grazie