Dimostrazione Criterio del Rapporto

[nic111]

Sto studiando il criterio del rapporto nel caso $L<1$ ma non riesco a terminare la dimostrazione perché mi blocco
Io so dalla definizione di limite che fissato un numero reale positivo $\delta >0$ esiste un $n_epsilon$ tale che per ogni n valga $n > n_epsilon$ e valga $a_(n+1)/a_n < L+ epsilon$
Dato che $L<1$ posso scegliere un $epsilon$ per far si che valga $L+epsilon <1$ pongo $M=L+epsilon$ e scrivo che $a_(n+1)/a_n < M<1$
moltiplico per $a_n$ e trovo che $a_(n+1) n_epsilon$
Ora ho capito che la serie è decrescente ed ora?
Ho visto che nelle maggior parti delle dimostrazioni il passaggio successivo è questo ma non riesco a capirlo:
Per ogni k vale:
$0

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Risposte

anto_zoolander

18 lug 2018, 18:56

supponi che $(a_(n+1))/a_n -> l <1$ e che $a_n$ sia a termini positivi

1) fissi $epsilon=1-l>0$ allora esisterà un certo indice $k$ per il quale $|a_(n+1)/a_n-l|<1-l, n>k$

questo ti dice che definitivamente $a_(n+1) essendo definitivamente decrescente e inferiormente limitata(la successione è a termini positivi) la successione deve convergere

se una successione converge allora tutte le sottosuccessioni convergono allo stesso limite, pertanto ti basta trovare una qualsiasi sottosuccessione e vedere a cosa converge.

2) troviamo questa successione. Intanto consideriamo che per qualsiasi $epsilon>0$ esisterà un indice $m$ per cui si avrà che

se $n>m$ allora $0
siccome $l<1$ possiamo fissare $epsilon$ in modo tale che sia $0 se non credi al fatto che esista puoi prendere $epsilon$ in modo tale che

$l+epsilon=(l+1)/2 => epsilon=(1-l)/2$

avremo dunque che se $n>m$ allora $0m$ per ogni $k in NN$ avrai

$forallk in NN,a_(m+k+1)
ovvero hai una sottosuccessione di $a_n$ con la proprietà

$forallk in NN, 0
chiaramente $M^(k+1)->0$ poichè $M<1$ pertanto hai trovato una sottosuccessione che converge a $0$ per confronto e per quanto osservato prima l'intera successione vi converge anche.

dunque: al primo step si mostra che una successione che gode di questa proprietà converge poichè definitivamente decrescente e inferiormente limitata. Al secondo step si trova una sottosuccessione convergente e si conclude che quello è lo stesso limite della successione intera. Fine.


cosa succede se $l>1$?(non rispondere solo diverge, ti prego)

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nic111

19 lug 2018, 14:48

Okay grazie mi hai chiarito molti dubbi.
L'unica cosa che ancora non mi è chiarissima è: come faccio a capire che $M^(k+1)a_m $ sia una sottosuccessione di $Ma_m$?

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anto_zoolander

19 lug 2018, 14:58

Frena. Il valore $m inNN$ è fisso e la sottosuccessione è $a_(m+k+1)$ dove varia $k$.
La successione $b_k=M^(k+1)a_m$ è una successione che abbiamo trovato per maggiorare quella sottosuccessione e stimarne la convergenza.

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nic111

19 lug 2018, 15:12

Aaaaaaah ora mi è davvero chiara, grazie mille

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[anto_zoolander]

supponi che $(a_(n+1))/a_n -> l <1$ e che $a_n$ sia a termini positivi

1) fissi $epsilon=1-l>0$ allora esisterà un certo indice $k$ per il quale $|a_(n+1)/a_n-l|<1-l, n>k$

questo ti dice che definitivamente $a_(n+1) essendo definitivamente decrescente e inferiormente limitata(la successione è a termini positivi) la successione deve convergere

se una successione converge allora tutte le sottosuccessioni convergono allo stesso limite, pertanto ti basta trovare una qualsiasi sottosuccessione e vedere a cosa converge.

2) troviamo questa successione. Intanto consideriamo che per qualsiasi $epsilon>0$ esisterà un indice $m$ per cui si avrà che

se $n>m$ allora $0
siccome $l<1$ possiamo fissare $epsilon$ in modo tale che sia $0 se non credi al fatto che esista puoi prendere $epsilon$ in modo tale che

$l+epsilon=(l+1)/2 => epsilon=(1-l)/2$

avremo dunque che se $n>m$ allora $0m$ per ogni $k in NN$ avrai

$forallk in NN,a_(m+k+1)
ovvero hai una sottosuccessione di $a_n$ con la proprietà

$forallk in NN, 0
chiaramente $M^(k+1)->0$ poichè $M<1$ pertanto hai trovato una sottosuccessione che converge a $0$ per confronto e per quanto osservato prima l'intera successione vi converge anche.

dunque: al primo step si mostra che una successione che gode di questa proprietà converge poichè definitivamente decrescente e inferiormente limitata. Al secondo step si trova una sottosuccessione convergente e si conclude che quello è lo stesso limite della successione intera. Fine.


cosa succede se $l>1$?(non rispondere solo diverge, ti prego)

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nic111

19 lug 2018, 14:48

Okay grazie mi hai chiarito molti dubbi.
L'unica cosa che ancora non mi è chiarissima è: come faccio a capire che $M^(k+1)a_m $ sia una sottosuccessione di $Ma_m$?

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anto_zoolander

19 lug 2018, 14:58

Frena. Il valore $m inNN$ è fisso e la sottosuccessione è $a_(m+k+1)$ dove varia $k$.
La successione $b_k=M^(k+1)a_m$ è una successione che abbiamo trovato per maggiorare quella sottosuccessione e stimarne la convergenza.

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nic111

19 lug 2018, 15:12

Aaaaaaah ora mi è davvero chiara, grazie mille

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[nic111]

Okay grazie mi hai chiarito molti dubbi.
L'unica cosa che ancora non mi è chiarissima è: come faccio a capire che $M^(k+1)a_m $ sia una sottosuccessione di $Ma_m$?

[anto_zoolander]

Frena. Il valore $m inNN$ è fisso e la sottosuccessione è $a_(m+k+1)$ dove varia $k$.
La successione $b_k=M^(k+1)a_m$ è una successione che abbiamo trovato per maggiorare quella sottosuccessione e stimarne la convergenza.

[nic111]

Aaaaaaah ora mi è davvero chiara, grazie mille