Dimostrazione corollario di esistenza e unicità locale
Sto parlando del corollario del teorema di esistenza e unicità locale relativo al 1 ordine:
Sia $ f(x,y) $una funzione continua in un rettangolo $ R=[xo-a,xo +a] x [yo-b,yo +b]$ e sia $fy(x,y)$ la derivata parziale rispetto ad $y$ anch'essa continua in $R$.Allora esiste una sola funzione $y(x) in C^(1)[xo-del,xo +del]$ dove $del= min{a,b/m}$ con $m$ massimo di $|f(x,y)|$ in $R$, soluzione del problema di Cauchy.
Il libro dimostra questo corollario dimostrando che in queste condizione$ f(x,y)$ è lipshitziana rispetto ad $y$ uniformemente rispetto ad $x$ in modo da applicare il teorema di unicità e esistenza locale:
Se $fy(x,y)$ è continua in $R $ allora anche la funzione$ |fy(x,y)|$ è continua in$ R$. Per Weierstrass esiste in $R$ il massimo per cui $|fy(x,y)|<=L$ con $L>0 $;
Considera poi la funzione di una variabile $y in [yo-b,yo +b]---> f(x,y) $ e applica a questa funzione il teorema di Lagrange:
$ AA x in [xo-del,xo +del] $e per ogni coppia di punti $y1,y2 in [yo-b,yo +b]$ $EE y3 in [yo-b,yo + b]$ tale che
$f(x,y1)-f(x,y2) = fy(x,y3) (y1-y2)$
Combinando le due condizioni ho $f(x,y)$ lipschitziana
Il mio dubbio sta nell'applicare Lagrange.. $y3$ non dovrebbe appartenere a $[y1,y2]$? Anche perchè nel corollario del teorema di esistenza e unicità globale con una dimostrazione simili prende questo intervallo e non quello generale $[yo-b,yo +b]$!
E' "errore" del libro o c'è qualcosa che mi sfugge?
Sia $ f(x,y) $una funzione continua in un rettangolo $ R=[xo-a,xo +a] x [yo-b,yo +b]$ e sia $fy(x,y)$ la derivata parziale rispetto ad $y$ anch'essa continua in $R$.Allora esiste una sola funzione $y(x) in C^(1)[xo-del,xo +del]$ dove $del= min{a,b/m}$ con $m$ massimo di $|f(x,y)|$ in $R$, soluzione del problema di Cauchy.
Il libro dimostra questo corollario dimostrando che in queste condizione$ f(x,y)$ è lipshitziana rispetto ad $y$ uniformemente rispetto ad $x$ in modo da applicare il teorema di unicità e esistenza locale:
Se $fy(x,y)$ è continua in $R $ allora anche la funzione$ |fy(x,y)|$ è continua in$ R$. Per Weierstrass esiste in $R$ il massimo per cui $|fy(x,y)|<=L$ con $L>0 $;
Considera poi la funzione di una variabile $y in [yo-b,yo +b]---> f(x,y) $ e applica a questa funzione il teorema di Lagrange:
$ AA x in [xo-del,xo +del] $e per ogni coppia di punti $y1,y2 in [yo-b,yo +b]$ $EE y3 in [yo-b,yo + b]$ tale che
$f(x,y1)-f(x,y2) = fy(x,y3) (y1-y2)$
Combinando le due condizioni ho $f(x,y)$ lipschitziana
Il mio dubbio sta nell'applicare Lagrange.. $y3$ non dovrebbe appartenere a $[y1,y2]$? Anche perchè nel corollario del teorema di esistenza e unicità globale con una dimostrazione simili prende questo intervallo e non quello generale $[yo-b,yo +b]$!
E' "errore" del libro o c'è qualcosa che mi sfugge?
Risposte
Mi dispiace essere insistente ma ho a breve l'orale e vorrei che qualcuno mi chiarisse il dubbio! So che è un periodo frenetico per tutti ma se qualcuno trovasse il tempo di rispondermi sarei davvero molto grato 
Certo, il tuo \(y_3\) sta in \(]\min \{y_1,y_2\} ,\max \{y_1,y_2\}[ \subseteq [y_0-b,y_0+b]\).
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