Dimostrazione convessità,concavità.

[Antomus1]

Una funzione $ f(x) $ continua in un intervallo I e derivabile nei punti interni all intervallo è concava (convessa) se e solo se la sua derivata $ f'(x) $ è decrescente (crescente).
Come faccio a dimostrare quest affermazione????

[Seneca1]

Quali altri risultati sulla convessità conosci?

$f$ convessa $hArr$ $f'$ crescente.

Presi $ x_1 < x_2 $, con $x_1 , x_2 in I$ , si può applicare un lemma dal quale si ha che $f'_- (x_1) <= f'_+ (x_2)$.
Per ipotesi la $f$ è derivabile, quindi $f' (x_1) <= f' (x_2)$, cioè la tesi.

[Antomus1]

Risolto...ho trovato su un libro una dimostrazione che utilizza il teorema di lagrange ...... grazie dell aiuto comunque