Dimostrazione convergenza serie armonica generalizzata

[dshado]

Salve a tutti, sto avendo dei problemi a dimostrare che la serie armonica converge per "alfa" > 1.
Buona parte delle dimostrazioni che ho visto, partono sviluppando la serie armonica e raggruppando i vari termini in un modo specifico, per poi maggiorarla, solo che mi risulta essere molto poco chiaro.
Sapreste aiutarmi? Grazie!

[Bremen000]

Se no ben capito vuoi dimostrare che la serie

$\sum_{n=1}^{\infty} 1/n^{\alpha} \quad, \quad \alpha >1 $

converge.

Si può usare il criterio integrale:

Teorema:
Sia $f: [n_0; +\infty) \mapsto \mathbb{R} $ una funzione positiva, decrescente, integrabile e infinitesima. Data la serie $\sum_{n=n_0}^{\infty} a_n $ con $a_n = f(n) \quad \forall n \ge n_0 $ allora la serie converge se e solo se converge l'integrale $\int_{n_0}^{+\infty}f(x)dx$.

Nel tuo caso ovviamente
$f(x) = \frac{1}{x^{\alpha}} \quad, \quad \alpha >1$
e ti basta dimostrare che l'integrale converge.

[qwerty17]

Senza usare gli integrali, puoi utilizzare il criterio di condensazione di Cauchy per le serie (che oltretutto si dimostra molto facilmente) ed effettuando i dovuti passaggi ti ritroverai ad avere una serie con stesso carattere della serie iniziale.
In particolare troverai una serie geometrica che converge, e quindi anche la serie iniziale considerata converge.