Dimostrazione continuità funzioni

[obnubilated]

Ciao ragazzi, non so come dimostrare la continuità delle funzioni, in particolare mi servirebbero i casi più semplici come:

$y=e^x$
$y=x^2+5x-1$
$sin(x)$

Per dimostrare la continuità so che $lim {x->x0} f(x)=f(x0)$ e che il limite destro e sinistro di $x0$ devono coincidere, ma mi servirebbe un esempio concreto poiché scrivere:
$lim {x-> x0} e^x = e^x0$ mi sembra troppo banale ed ovvia come dimostrazione (se si può chiamare dimostrazione).

[gugo82]

Praticamente devi far vedere che, per ogni [tex]$x_0$[/tex], risulta:

(*) [tex]$\lim_{x\to x_0} e^x =e^{x_0}$[/tex].

Ciò equivale a dire che devi verificare con la definizione di limite che valga la relazione (*) per ogni fissato [tex]$x_0$[/tex], ossia devi provare vera la proposizione:

[tex]$\forall x_0\in \mathbb{R},\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta= \delta_{x_0,\varepsilon} >0:\ \forall x\in ]x_0-\delta, x_0+\delta[,\quad |e^x-e^x_0|<\varepsilon$[/tex].

Insomma, la dimostrazione della continuità in un punto equivale alla verifica di un limite con la definizione, nulla più nulla meno.

[obnubilated]

Quindi in pratica continuo così:

${e^x - e^(x_0)<\varepsilon$
${e^x - e^(x_0)>\-varepsilon

Quindi:

$ -\varepsilon < e^x - e^(x_0)<\varepsilon
$ -\varepsilon+e^(x_0) < e^x < e^(x_0) + \varepsilon

Ma ora come vado avanti?

[gugo82]

Visto che devi fare uscire un [tex]$x-x_0$[/tex] prima o poi, conviene fare così:

[tex]$|e^x -e^{x_0}| = e^{x_0} |e^{x-x_0} -1|<\varepsilon \ \Leftrightarrow \ |e^{x-x_0}-1|<\varepsilon e^{-x_0}$[/tex]
[tex]$\Leftrightarrow \ 1-\varepsilon e^{-x_0}< e^{x-x_0} <1+\varepsilon e^{-x_0}$[/tex] (supponendo [tex]$\varepsilon$[/tex] tanto piccolo che [tex]$1-\varepsilon e^{-x_0}>0$[/tex])
[tex]$\Rightarrow \ \ln (1-\varepsilon e^{-x_0})
visto che [tex]$\ln (1-\varepsilon e^{-x_0}) <0<\ln (1+\varepsilon e^{-x_0})$[/tex], posto [tex]$\delta =\delta_{x_0,\varepsilon }=\min \{ |\ln (1-\varepsilon e^{-x_0})|, \ln (1+\varepsilon e^{-x_0})\}$[/tex], l'ultima delle precedenti si verifica in particolare se [tex]$|x-x_0|<\delta$[/tex] e ciò è quanto volevamo.

[obnubilated]

Ottimo, ho capito tutto!
In fin dei conti devo trovare uno "stratagemma" per avere $x-x_0$ compreso tra 2 valori.

Invece per un polinomio di tipo $x^2+5x-1$:

$|x^2+5x-1-(x_0^2+5x_0-1)|<\varepsilon$
$-\varepsilon < x^2+5x-1-(x_0^2+5x_0-1) < \varepsilon$
$-\varepsilon < x^2+5x-1-x_0^2-5x_0+1 < \varepsilon$
$-\varepsilon < x^2+5x-x_0^2-5x_0 < \varepsilon$

Il problema è che arrivato qui non so come trovare $x-x_0$
Ho pensato di sommare membro a membro $-5x+5x_0$ in modo da avere:

$-\varepsilon-5x+5x_0 < x^2-x_0^2 < \varepsilon-5x+5x_0$

$-\varepsilon-5x+5x_0 < (x-x_0)(x+x_0) < \varepsilon-5x+5x_0$

Ed a questo punto dividere per $(x+x_0)$

$(-\varepsilon-5x+5x_0)/(x+x_0) < x-x_0 < (\varepsilon-5x+5x_0)/(x+x_0)$

Il procedimento è giusto?

[obnubilated]

Ho provato a raccogliere diversamente:

Partendo da $-\varepsilon $-\varepsilon<(x-x0)(x+x0)+5(x-x0)<\varepsilon$
$-\varepsilon<(x-x0)(5+x+x0)<\varepsilon$
A questo punto divido tutto per $5+x+x0$ e ottengo:

$-\varepsilon/(5+x+x0)<(x-x0)<\varepsilon/(5+x+x0)$
Ma la presenza della $x$ nei membri dove è anche presente $\varepsilon$ mi fa storcere il naso..

[gugo82]

Qui, purtroppo, c'è da usare un trucco.

Allora:

[tex]$|(x^2+5x-1)-(x_0^2+5x_0-1)|=|x^2-x_0^2+5(x-x_0)|$[/tex]
[tex]$\leq |x^2-x_0^2|+5|x-x_0|$[/tex] (per la disuguaglianza triangolare)
[tex]$=(|x+x_0| +5)\ |x-x_0|$[/tex] (per il prodotto notevole [tex]$x^2-x_0^2=(x+x_0)(x-x_0)$[/tex] e le proprietà del valore assoluto),

cosicché per ottenere [tex]$|(x^2+5x-1)-(x_0^2+5x_0-1)| <\varepsilon$[/tex] ti basta sia [tex]$(|x+x_0| +5)\ |x-x_0|<\varepsilon$[/tex]: quindi ora il nostro obiettivo è determinare un [tex]$\delta =\delta_{x_0,\varepsilon} >0$[/tex] tale che:

[tex]$|x-x_0|<\delta \ \Rightarrow \ (|x+x_0| +5)\ |x-x_0|<\varepsilon$[/tex].

A questo punto notiamo che, quando fissiamo un [tex]$\delta >0$[/tex], se [tex]$|x-x_0|<\delta$[/tex] allora [tex]$|x+x_0|\leq 2|x_0|+\delta$[/tex]*, sicché possiamo maggiorare [tex]$(|x+x_0| +5)\ |x-x_0|$[/tex] come segue:

[tex]$(|x+x_0| +5)\ |x-x_0| < (2|x_0|+\delta +5)\ \delta$[/tex],

e, quindi, affinché la disuguaglianza [tex]$(|x+x_0| +5)\ |x-x_0|<\varepsilon$[/tex] risulti verificata ci basta che il nostro [tex]$\delta$[/tex] soddisfi la disequazione:

(*) [tex]$(2|x_0|+5+\delta)\ \delta <\varepsilon$[/tex].

Quest'ultima è una disequazione di secondo grado in [tex]$\delta$[/tex] e si risolve con metodi noti: si ha:

[tex]$\delta^2 +(2|x_0|+5)\delta -\varepsilon <0$[/tex] se e solo se [tex]$-\tfrac{2|x_0|+5+\sqrt{(2|x_0|+5)^2+4\varepsilon}}{2} <\delta < \tfrac{-(2|x_0|+5)+\sqrt{(2|x_0|+5)^2+4\varepsilon}}{2}$[/tex];

quindi la disuguaglianza (*) è soddisfatta se si prende [tex]$\delta_{x_0,\varepsilon} =\tfrac{\sqrt{(2|x_0|+5)^2+4\varepsilon} -(2|x_0|+5)}{4} >0$[/tex] (N.B.: il [tex]$\delta_{x_0,\varepsilon}$[/tex] scelto è preso in modo che è [tex]$>0$[/tex] ed è la metà dell'estremo superiore in cui può variare [tex]$\delta$[/tex] per soddisfare la (*); perciò è evidente che [tex]$\delta_{x_0,\varepsilon} ]-\tfrac{2|x_0|+5+\sqrt{(2|x_0|+5)^2+4\varepsilon}}{2} , \tfrac{-(2|x_0|+5)+\sqrt{(2|x_0|+5)^2+4\varepsilon}}{2}[$[/tex]).

Di conseguenza per [tex]$|x-x_0|<\delta_{x_0,\varepsilon}$[/tex] è vero che [tex]$|(x^2+5x-1)-(x_0^2+5x_0-1)|<\varepsilon$[/tex], perciò la funzione è continua in [tex]$x_0$[/tex] (qualunque sia [tex]$x_0$[/tex]).


__________
* Infatti [tex]$|x+x_0|=|(x-x_0)+2x_0|\leq |x-x_0|+2|x_0|$[/tex], quindi se [tex]$|x-x_0|<\delta$[/tex] si ha [tex]$|x+x_0|<2|x_0|+\delta$[/tex], come affermato.