Dimostrazione continuità funzione modulo

[kiary1]

Ho un piccolo dubbio. Mi si chiede di dimostrare attraverso la definizione di funzione continua che se $f(x)$ è continua in $x_0$ allora anche $|f(x)|$ è continuo in $x_0$.

Allora una funzione $f(x)$ è continua in $x_0$ se $lim_(x->x_0)(f(x))=$ $f(x_0)$.
Io quindi devo dimostrare che $lim_(x->x_0)(|f(x)|)=$ $|f(x_0)|$. Giusto?
E posso dire che, sapendo che $f(x)$ è continua, allora posso mettere il modulo fuori dal limite? cioè: $|lim_(x->x_0)(f(x))|=$ $|f(x_0)|$.
E poichè $f(x)$ è continua e tende a $f(x_0)$ allora anche $|f(x)|$ deve tendere a $|f(x_0)|$ per $x->x_0$.
Ha senso??
grazieee

[Seneca1]

"kiary":Ho un piccolo dubbio. Mi si chiede di dimostrare attraverso la definizione di funzione continua che se $f(x)$ è continua in $x_0$ allora anche $|f(x)|$ è continuo in $x_0$.

Allora una funzione $f(x)$ è continua in $x_0$ se $lim_(x->x_0)(f(x))=$ $f(x_0)$.
Io quindi devo dimostrare che $lim_(x->x_0)(|f(x)|)=$ $|f(x_0)|$. Giusto?
E posso dire che, sapendo che $f(x)$ è continua, allora posso mettere il modulo fuori dal limite? cioè: $|lim_(x->x_0)(f(x))|=$ $|f(x_0)|$.
E poichè $f(x)$ è continua e tende a $f(x_0)$ allora anche $|f(x)|$ deve tendere a $|f(x_0)|$ per $x->x_0$.
Ha senso??
grazieee

$lim_(x->x_0) f(x) = f(x_0)$

Significa che...

$AA epsilon > 0 $, [...] , $ | f(x) - f(x_0) | < epsilon $

Poiché, per le proprietà dei valori assoluti, risulta $| a - b | >= | |a| - |b| |$ si ha:

$ | |f(x)| - |f(x_0)| | <= | f(x) - f(x_0) | < epsilon $

$ | |f(x)| - |f(x_0)| | < epsilon $ donde la tesi.


$lim_(x->x_0)(|f(x)|)=|f(x_0)|$

[Paolo902]

Faccio notare che non vale il viceversa di ciò che avete scritto.

Sapreste trovare un controesempio?

[Seneca1]

Diciamo che la definizione che hai dato tu di continuità è, in realtà, solo una condizione sufficiente (basti pensare ai punti isolati).

La definizione più completa, quella che devi tenere a mente soprattutto per le dimostrazioni, è quella $epsilon - delta$.

[Seneca1]

Ciao Paolo.


Controesempio (lo scrivo nello spoiler per dare l'occasione a kiary di pensarci su):

Dovrebbe andare bene, è semplice.

$f(x):={(1,if x >= 0),(-1,if x<0):}$

$lim_( x -> 0) |f(x)| = 1$

$lim_( x -> 0^+) f(x) = 1$ , $lim_( x -> 0^-) f(x) = -1$

[Paolo902]

@ Seneca:

ciao
Perfetto: era proprio ciò che avevo in mente io.
Bene.

[kiary1]

"Seneca":Ciao Paolo.


Controesempio (lo scrivo nello spoiler per dare l'occasione a kiary di pensarci su):

Dovrebbe andare bene, è semplice.

$f(x):={(1,if x >= 0),(-1,if x<0):}$

$lim_( x -> 0) |f(x)| = 1$

$lim_( x -> 0^+) f(x) = 1$ , $lim_( x -> 0^-) f(x) = -1$

sisi avevo pensato anche io alla funzione gradino!!
per la dimostrazione grazie, ora è tutto chiaro!