Dimostrazione continuità del limite successioni di funzioni

[faga1]

Non mi sono chiare alcune cose nella dimostrazione del teorema di continuità del limite per le successioni di funzioni.
il teorema dice:
Assegnata una successione di funzioni
$f_n:I->RR$ con $f_n in C(I)$
$f_n->f:I->RR$ si intende convergenza uniforme
allora:
$f in C(I)$

per la dimostrazione il libro procede così:
verifichiamo che f è continua in $x_0$,per ogni $x_0 in I$.Per ipotesi di convergenza uniforme si ha fissato $epsilon>0$ esiste $nu_epsilon$ tale che:
$|f_n(x)-f(x)| scegliendo quindi $n>nu_epsilon$ per ogni $x in I$ risulta
$|f(x)-f(x_0)|<=|f(x)-f_n(x)|+|f(x_0)-f_n(x_0)|+|f_n(x)-f_n(x_0)|$
ora mi chiedo:che ha fatto qui?da dove proviene questa maggiorazione?a cosa è dovuto?cosa vuole dimostrare?

quindi continua:
$|f(x)-f(x_0)|<=|f(x)-f_n(x)|+|f(x_0)-f_n(x_0)|+|f_n(x)-f_n(x_0)| per ipotesi di continuità di $f_n$ è possibile determinare un $delta>0$ tale che
$x in I$ , $|x-x_0|$ $|f_n(x)-f_n(x_0)| e quindi per $x in I$ , $|x-x_0| $|f(x)-f(x_0)|<3epsilon$
che prova la tesi.
cioè perchè quest'ultima affermazione prova la tesi?come fa a provarla?

[gugo82]

"faga":verifichiamo che f è continua in $x_0$,per ogni $x_0 in I$.Per ipotesi di convergenza uniforme si ha fissato $epsilon>0$ esiste $nu_epsilon$ tale che:
$|f_n(x)-f(x)| scegliendo quindi $n>nu_epsilon$ per ogni $x in I$ risulta
$|f(x)-f(x_0)|<=|f(x)-f_n(x)|+|f(x_0)-f_n(x_0)|+|f_n(x)-f_n(x_0)|$
ora mi chiedo:che ha fatto qui?da dove proviene questa maggiorazione?a cosa è dovuto?cosa vuole dimostrare?

Il problema di queste dimostrazioni (continuità, derivabilità ed integrabilità del limite di funzioni continue, derivabili, integrabili) è che devi riportare tutto alle ipotesi fatte sulla successione ed all'uniforme convergenza.

In questo caso, per provare la continuità del limite, devi usare la continuità degli elementi della successione e la convergenza uniforme.
Il modo migliore per farlo è facendo comparire esplicitamente le [tex]$f_n$[/tex] nella quantità [tex]$|f(x)-f(x_0)|$[/tex]: ciò si può fare sommando e sottraendo nel valore assoluto le quantità [tex]$f_n(x)$[/tex] ed [tex]$f_n(x_0)$[/tex]:

[tex]$|f(x)-f(x_0)|=\Big| [f(x)-f_n(x)]+[f_n(x)-f_n(x_0)]+[f_n(x_0)-f(x_0)]\Big|$[/tex].

Poi, visto che a te serve una maggiorazione per [tex]$|f(x)-f(x_0)|$[/tex] (infatti devi provare che questa roba è [tex]$<\varepsilon$[/tex] almeno per [tex]$|x-x_0|<\delta_{x_0,\varepsilon}$[/tex]), allora cominci a maggiorare tutta quella zozzeria sotto valore assoluto usando la disuguaglianza triangolare (in particolare [tex]$|a+b+c|\leq |a|+|b|+|c|$[/tex]) ottenendo:

(*) [tex]$|f(x)-f(x_0)| \leq |f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(x_0)|+|f_n(x_0)-f(x_0)|$[/tex].

"faga":quindi continua:
$|f(x)-f(x_0)|<=|f(x)-f_n(x)|+|f(x_0)-f_n(x_0)|+|f_n(x)-f_n(x_0)| per ipotesi di continuità di $f_n$ è possibile determinare un $delta>0$ tale che
$x in I$ , $|x-x_0|$ $|f_n(x)-f_n(x_0)| e quindi per $x in I$ , $|x-x_0| $|f(x)-f(x_0)|<3epsilon$
che prova la tesi.
cioè perchè quest'ultima affermazione prova la tesi?come fa a provarla?

Dalla (*) puoi maggiorare ancora il secondo membro maggiorando primo ed ultimo addendo con l'estremo superiore:

(**) [tex]$|f(x)-f(x_0)| \leq \sup |f-f_n|+|f_n(x)-f_n(x_0)|+\sup |f_n-f| =|f_n(x)-f_n(x_0)|+2\sup |f_n-f|$[/tex]

e ti accorgi che nell'ultimo membro della precedente compaiono proprio quelle quantità su cui puoi usare le ipotesi di convergenza uniforme e di continuità!

A questo punto terminare è facile: per convergenza uniforme, fissato [tex]$\varepsilon >0$[/tex] in corrispondenza del numero [tex]$\tfrac{\varepsilon}{4}$[/tex] è possibile determinare un numero grande [tex]$N$[/tex] tale che [tex]$\sup |f_N-f|<\tfrac{\varepsilon}{4}$[/tex]; preso [tex]$n=N$[/tex] nella (**) ottieni:

[tex]$|f(x)-f(x_0)|<|f_N(x)-f_N(x_0)|+\tfrac{\varepsilon}{2}$[/tex];

d'altra parte ti ricordi che [tex]$f_N$[/tex] è continua in [tex]$x_0$[/tex], perciò in corrispondenza del numero positivo [tex]$\tfrac{\varepsilon}{2}$[/tex] esisterà un [tex]$\delta_{N,x_0,\varepsilon} >0$[/tex] tale che per [tex]$|x-x_0|<\delta_{N,x_0,\varepsilon}$[/tex] si abbia [tex]$|f_N(x)-f_N(x_0)|<\tfrac{\varepsilon}{2}$[/tex], quindi si ha pure:

(***) [tex]$|x-x_0|<\delta_{N,x_0\varepsilon} \quad \Rightarrow \quad |f(x)-f(x_0)|<\tfrac{\varepsilon}{2}+\tfrac{\varepsilon}{2} =\varepsilon$[/tex].

Se riesci a far vedere che [tex]$\delta_{N,x_0,\varepsilon}$[/tex] in (***) non dipende da [tex]$N$[/tex] hai finito (perchè nella definizione di continuità il [tex]$\delta$[/tex] deve dipendere solo dal punto [tex]$x_0$[/tex] e da [tex]$\varepsilon$[/tex]): ma ciò è certamente vero, perchè [tex]$N$[/tex] è stato scelto in corrispondenza di [tex]$\varepsilon$[/tex], quindi è una quantità che dipende solo da [tex]$\varepsilon$[/tex].
Ne viene che [tex]$\delta_{N,x_0,\varepsilon} =\delta_{x_0,\varepsilon}$[/tex] e ciò conclude la dimostrazione.

[faga1]

grande!
grazie 1000,sei stato chiarissimo!