Dimostrazione continuità

[roberto.biccario]

Salve stavo cercando la dimostrazione (SE ESISTE) della continuità della funzione somma e della funzione prodotto..
In giro trovo solo le definizioni, ma credo ci sia una dimostrazione banale di due righe..sapete dirmi nulla?

[quantunquemente]

ti puoi ricondurre alla dimostrazione del limite della somma e del prodotto

[vict85]

Sul momento le farei così:

SOMMA:
\(\displaystyle \lvert (f +g)(x) - (f +g)(x_0) \rvert \le \lvert f(x) - f(x_0) \rvert + \lvert g(x) - g(x_0) \rvert \). Da qui si conclude facilmente.

QUADRATO:
\(\displaystyle \lvert f^2(x) - f^2(x_0) \rvert = \lvert f(x) - f(x_0) \rvert\,\lvert f(x) + f(x_0) \rvert \le \lvert f(x) - f(x_0) \rvert^2 + 2\lvert f(x) - f(x_0) \rvert\,\lvert f(x_0) \rvert \). Pertanto se scegli un \(\displaystyle \epsilon \) tale che \(\displaystyle \epsilon^2 + \epsilon\lvert f(x_0)\rvert\le \varepsilon \) puoi trovare il \(\displaystyle \delta \) relativo a \(\displaystyle \varepsilon \) e \(\displaystyle x_0 \) per la funzione quadrato.

PRODOTTO:
\(\displaystyle fg = \frac{(f+g)^2 - (f^2 + g^2) }{2} \) (che è continua in quanto composizione di funzioni continue.