Dimostrazione con derivate parziali

[ludwigZero]

Devo dimostrare questo esercizio:
Sia $g(t)$ una funzione di una variabile reale, limitata su $RR$ e derivabile per $t=0$ e sia $f(x,y)$ la funzione di due variabili definita da:
$f(x,y)=0$ se $x=0$
$f(x,y)= x^2 *g(y/x)$ se $x\=0$

Verificare che $f_(xy) (0,0)=0$ e $f_(yx) (0,0) = g'(0)$

mostrare con un esempio che la tesi vale solo per una funzione limitata in $RR$

Ho proceduto così:

$f(0,y)=0$ allora anche $f(0,0)=0$

$f_x (0,y) = (f(h,y) - f(0,y))/h = f(h,y)/h = (h^2 g(y/h))/h = h*g(y/h) = 0 $ (limite per $h->0$ del rapporto incrementale)

$f_(xy) (0,0) = (f_x (0,k) - f_x (0,0))/k =0$ (limite per $k->0$ del rapporto incrementale)

$f_y (x,y) = x^2 *1/x * g'(y/x) = x g'(y/x)$

$f_y (0,0) = 0$

$f_(yx) (0,0) = (f_y (t,0) - f_y (0,0))/t = (f_y (t,0) - f_y (0,0))/t = (f_y (t,0))/t = k g'(0/t)/t = g'(0)$ (limite per $t->0$ del rapporto incrementale)


non saprei come dimostrare che ho bisogno di una funzione limitata su $RR$, come pensarla?

[ciampax]

Poniti la seguente domanda: come fai a dire che $\lim_{h\to 0} h\cdot g(y/h)=0$ considerato che $y/h\to\infty$?