Dimostrazione con derivata e limite
Dimostrare che se la derivata seconda di una funzione è sempre maggiore di 1, il limite della f per x che tende a più
infinito è uguale a più infinito.
Credo si debba fare usando il polinomio di Taylor..come fareste?
Grazie mille
infinito è uguale a più infinito.
Credo si debba fare usando il polinomio di Taylor..come fareste?
Grazie mille
Risposte
No, il polinomio di Taylor non ti aiuta. (Almeno, non credo). Io farei un discorso di convessità. Tanto per cominciare sai che la funzione è convessa, e su questo non ci piove. Fatti un disegnino: cosa può fare, andando verso destra, una funzione convessa (che non sia costante)? E' intuitivamente ovvio che deve andare a $+infty$. Ora però tocca dimostrarlo: un'idea è trovare una funzione minore o uguale della funzione data, che tenda ad infinito. Che ne dici di una retta?
P.S.: E' solo un'idea, non ho risolto l'esercizio.
[edit] E infatti è una cosa da rivedere - vedi il post di maurer.
P.S.: E' solo un'idea, non ho risolto l'esercizio.
[edit] E infatti è una cosa da rivedere - vedi il post di maurer.
Meglio ancora una parabola! 
[mod="Steven"]Ciao, ti chiederei di modificare il titolo del topic, mettendone uno più specifico, come prevede il nostro regolamento.
Il tutto per facilitare la navigazione degli utenti e degli ospiti.
Grazie per la comprensione.[/mod]
Il tutto per facilitare la navigazione degli utenti e degli ospiti.
Grazie per la comprensione.[/mod]
Ho provveduto alla modifica...mi scuso per la scorrettezza e ringrazio per gli aiuti.
Scusate l'intromissione, ma la convessità da sola non è sufficiente. è fondamentale l'ipotesi che la derivata seconda sia maggiore di uno... infatti $1/x$ è sempre convessa su $(0,+\infty)$ e tende a zero.
concordo con maurer. penso che la funzione, oltre ad essere convessa, deve anche essere crescente, dunque deve avere derivata prima positiva. Ipotesi soddisfatta nel tuo caso. Immagino infatti che per essere la derivata seconda un numero, in particolare maggiore di uno, hai derivato una funzione lineare in x di secondo grado (per esempio se $y'=2x$ hai $y''=2 >1$, per integrazione $y=x^2$ come qualcuno suggeriva) e così via con tutti gli $x^2$ con coefficienti positivi. Spero che il mio ragionamento non sia sbagliato. In ogni caso, il nocciolo è trovare una dimostrazione che generalizzi il tuo problema. Secondo la mia spiegazione, potresti procedere per "doppia" integrazione, nel senso che integri due volte $n$ con $n>1$. troveresti tutte le parabole che volgono la concavità verso l'alto (perchè il coeff di $x^2$ sarebbe $n/2$, sempre positivo per n>1) e sarebbe immediatamente verificato il tuo limite.
Il problema in questo caso, però, è che $n$ nel tuo discorso non è (né potrebbe esserlo) il valore della derivata seconda. Infatti, le ipotesi dicono che la derivata seconda deve mantenersi maggiore di 1, ma non dicono che debba essere costante.
Il mio discorso, purtroppo, è ancora molto informale... spero che almeno possa suggerire qualche utile idea...
Se la derivata seconda è sempre maggiore di 1, in particolare è sempre positiva, il che naturalmente implica la stretta crescenza della derivata prima. Per il teorema di regolarità delle funzioni monotone, il limite per $x\to +\infty$ di $f'(x)$ esiste, finito o infinito. Se è $l>0$, allora il teorema è dimostrato (infatti la funzione di partenza ammetterà un asintoto obliquo); bisognerebbe quindi dimostrare che l'ipotesi $l<=0$ conduce ad un assurdo...
Se la derivata seconda è sempre maggiore di 1, in particolare è sempre positiva, il che naturalmente implica la stretta crescenza della derivata prima. Per il teorema di regolarità delle funzioni monotone, il limite per $x\to +\infty$ di $f'(x)$ esiste, finito o infinito. Se è $l>0$, allora il teorema è dimostrato (infatti la funzione di partenza ammetterà un asintoto obliquo); bisognerebbe quindi dimostrare che l'ipotesi $l<=0$ conduce ad un assurdo...
Allora, avrei pensato di procedere così:
Lemma. Sia $g(x)$ una funzione strettamente crescente e derivabile su un intervallo del tipo $[a,+\infty)$, e sia la retta $y=l$ asintoto orizzontale per $x\to +\infty$. Allora $\lim_{x\to+\infty}g'(x)=0$.
Dimostrazione: Sia $x \in [a,+\infty)$ e $h>0$. Applicando il teorema di Lagrange all'intervallo $[x,x+h]$, trovo che $(f(x+h)-f(x))/h=f'(c)$. Ora, se $x\to +\infty$, allora anche $x+h\to+\infty$ e dunque (per la continuità della funzione) $f(x+h)-f(x)\to 0$. Inoltre, essendo $c\in (x,x+h)$, allora se $x\to+\infty$, anche $c\to +\infty$. Pertanto $\lim_{c\to +\infty}f'(c)=\lim_{x\to+infty}(f(x+h)-f(x))/h=0$.
A questo punto, ho dimostrato che nel nostro caso la derivata prima non può ammettere un asintoto orizzontale; essendo crescente, il suo limite varrà $+\infty$, il che implica che sarà definitivamente maggiore di 1, e quindi posso applicare di nuovo il lemma, per concludere che $f(x) \to +\infty$ per $x\to +\infty$...
Cosa ve ne sembra? C'è qualcosa di sbagliato che non vedo?
Lemma. Sia $g(x)$ una funzione strettamente crescente e derivabile su un intervallo del tipo $[a,+\infty)$, e sia la retta $y=l$ asintoto orizzontale per $x\to +\infty$. Allora $\lim_{x\to+\infty}g'(x)=0$.
Dimostrazione: Sia $x \in [a,+\infty)$ e $h>0$. Applicando il teorema di Lagrange all'intervallo $[x,x+h]$, trovo che $(f(x+h)-f(x))/h=f'(c)$. Ora, se $x\to +\infty$, allora anche $x+h\to+\infty$ e dunque (per la continuità della funzione) $f(x+h)-f(x)\to 0$. Inoltre, essendo $c\in (x,x+h)$, allora se $x\to+\infty$, anche $c\to +\infty$. Pertanto $\lim_{c\to +\infty}f'(c)=\lim_{x\to+infty}(f(x+h)-f(x))/h=0$.
A questo punto, ho dimostrato che nel nostro caso la derivata prima non può ammettere un asintoto orizzontale; essendo crescente, il suo limite varrà $+\infty$, il che implica che sarà definitivamente maggiore di 1, e quindi posso applicare di nuovo il lemma, per concludere che $f(x) \to +\infty$ per $x\to +\infty$...
Cosa ve ne sembra? C'è qualcosa di sbagliato che non vedo?
Semplicemente il modo di calcolare gli asintoti (lineari) è il seguente limite:
$lim_(x \to +oo) f(x)/x$
Si può generalizzare ad un asintoto di grado $n$ semplicemente:
$lim_(x \to +oo) f(x)/x^n$
Puoi inoltre vedere che:
$lim_(x \to +oo) f(x)/x^2 = 0$ se $|f(x)|
Allora ci interessa solo il caso in cui $f(x) rightarrow +-oo$
$lim_(x \to +oo) f(x)/x^2 = [oo/ootext{ ,quindi applico 2 volte Hopital}] = lim_(x \to +oo) (f''(x))/2$
Da qui immediatamente si vede che il limite segue il segno della derivata seconda.
$lim_(x \to +oo) f(x)/x$
Si può generalizzare ad un asintoto di grado $n$ semplicemente:
$lim_(x \to +oo) f(x)/x^n$
Puoi inoltre vedere che:
$lim_(x \to +oo) f(x)/x^2 = 0$ se $|f(x)|
Allora ci interessa solo il caso in cui $f(x) rightarrow +-oo$
$lim_(x \to +oo) f(x)/x^2 = [oo/ootext{ ,quindi applico 2 volte Hopital}] = lim_(x \to +oo) (f''(x))/2$
Da qui immediatamente si vede che il limite segue il segno della derivata seconda.
Ma scusa, Lord K... l'uguaglianza vale solo se il limite a secondo membro esiste...
Non vorrei dire cretinate, ma, prendendo spunto da una vecchia discussione, ho trovato questa funzione: $3x^2+sin(x^2)/x^2$. Il limite per $x\to +\infty$ della funzione è $+\infty$, come si vede facilmente. Se si calcola la derivata seconda si vede (magari con un programma, io ho fatto così...) che il limite per $x\to +\infty$ non esiste... Tuttavia la derivata seconda si mantiene maggiore di 1.
Non vorrei dire cretinate, ma, prendendo spunto da una vecchia discussione, ho trovato questa funzione: $3x^2+sin(x^2)/x^2$. Il limite per $x\to +\infty$ della funzione è $+\infty$, come si vede facilmente. Se si calcola la derivata seconda si vede (magari con un programma, io ho fatto così...) che il limite per $x\to +\infty$ non esiste... Tuttavia la derivata seconda si mantiene maggiore di 1.
@Lord K: Concordo con maurer. Nessuno ti ha detto che la derivata seconda di $f$ non sia una schifezza senza regolarità.
@maurer:
Quindi tu hai fatto un discorso di asintoti. Una buona idea. Non mi pare che ci siano errori.
@maurer:
Lemma. Sia $g(x)$ una funzione strettamente crescente e derivabile su un intervallo del tipo $[a,+\infty)$, e sia la retta $y=l$ asintoto orizzontale per $x\to +\infty$. Allora $\lim_{x\to+\infty}g'(x)=0$.
Dimostrazione: Sia $x \in [a,+\infty)$ e $h>0$. Applicando il teorema di Lagrange all'intervallo $[x,x+h]$, trovo che $(f(x+h)-f(x))/h=f'(c)$. Ora, se $x\to +\infty$, allora anche $x+h\to+\infty$ e dunque (per la continuità della funzione) $f(x+h)-f(x)\to 0$. Inoltre, essendo $c\in (x,x+h)$, allora se $x\to+\infty$, anche $c\to +\infty$. Pertanto $\lim_{c\to +\infty}f'(c)=\lim_{x\to+infty}(f(x+h)-f(x))/h=0$.
A questo punto, ho dimostrato che nel nostro caso la derivata prima non può ammettere un asintoto orizzontale; essendo crescente, il suo limite varrà $+\infty$, il che implica che sarà definitivamente maggiore di 1, e quindi posso applicare di nuovo il lemma, per concludere che $f(x) \to +\infty$ per $x\to +\infty$...
Cosa ve ne sembra? C'è qualcosa di sbagliato che non vedo?
Quindi tu hai fatto un discorso di asintoti. Una buona idea. Non mi pare che ci siano errori.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo