Dimostrazione completezza per $l^1$
Considerlo $l^p = {(x_k)_{k\in\mathbb N} t.c. \sum_{k=1}^\infty |x_k|^p < +\infty} \forall p \in [1,+\infty[$. Voglio ora dimostrare che $l^p$ è uno spazio di Banach nel caso particolare in cui $p=1$ con la norma definita come $||(x_k)_{k\in\mathbb N}|| = ( \sum_{k=1}^\infty |x_k|^p)^{1/p}$.
Ora, sono riuscito a mostrare che la norma è ben definita quindi mi manca da dimostrare la completezza di $l^1$. A questo punto non so come proseguire. Ho considerato la definizione classica di spazio completo (ovvero ho imposto la convergenza di tutte le successioni di Cauchy) ma mi sono trovato con una successione di successioni $(x_{kj})_{k,j\in\NN}$ sulla quale non riesco a dimostrare alcunchè. Ho anche provato a considerare l'esistenza di una successione $(y_k)$ a cui converge pensando poi di utilizzare il fatto che $\forall k \in \NN x_kj \to y_k$ in modo da trattare successioni semplici invece di successioni di successioni, ma anche in questo caso non sono riuscito a concludere nulla sulla completezza.
Sapreste aiutarmi?
Ora, sono riuscito a mostrare che la norma è ben definita quindi mi manca da dimostrare la completezza di $l^1$. A questo punto non so come proseguire. Ho considerato la definizione classica di spazio completo (ovvero ho imposto la convergenza di tutte le successioni di Cauchy) ma mi sono trovato con una successione di successioni $(x_{kj})_{k,j\in\NN}$ sulla quale non riesco a dimostrare alcunchè. Ho anche provato a considerare l'esistenza di una successione $(y_k)$ a cui converge pensando poi di utilizzare il fatto che $\forall k \in \NN x_kj \to y_k$ in modo da trattare successioni semplici invece di successioni di successioni, ma anche in questo caso non sono riuscito a concludere nulla sulla completezza.
Sapreste aiutarmi?
Risposte
La completezza di questo tipo di spazi ($L^p$ con $1<=pGilardi. La dimostrazione che trovi lì si basa su questo lemma:
Lemma: Uno spazio normato $(E, ||*||)$ è completo se e solo se per ogni successione $(x_n)_{n\inNN}$ tale che $sum_{n=1}^infty||x_n||$ converge (come serie numerica) risulta che $sum_{n=1}^inftyx_n$ converge in norma. (A parole: uno spazio normato è completo se e solo se ogni serie normalmente convergente è convergente in norma).
Se vuoi dimostrare la completezza del solo spazio $l^1$, senza passare da teoremi di teoria della misura, forse usando questo lemma puoi ottenere qualche risultato. Prova un po', più tardi ci penso anche io.
Lemma: Uno spazio normato $(E, ||*||)$ è completo se e solo se per ogni successione $(x_n)_{n\inNN}$ tale che $sum_{n=1}^infty||x_n||$ converge (come serie numerica) risulta che $sum_{n=1}^inftyx_n$ converge in norma. (A parole: uno spazio normato è completo se e solo se ogni serie normalmente convergente è convergente in norma).
Se vuoi dimostrare la completezza del solo spazio $l^1$, senza passare da teoremi di teoria della misura, forse usando questo lemma puoi ottenere qualche risultato. Prova un po', più tardi ci penso anche io.
Mi faccio pubblicità: se vai qui http://staff.polito.it/luca.lussardi/ alla sezione didattica trovi le mie dispense di teoria della misura e spazi $L^p$, lì trovi anche un capitolo su $l^p$.
Molto chiara quella dispensa, grazie mille.
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