Dimostrazione completa Hopital

[Studente Anonimo]

Salve, sono alla ricerca di una dimostrazione per così dire completa della regola di de l'Hopital.
Ho provato a cercare in internet, ma non torvo niente di valido, voi per caso conoscete qualche sito che ce l'abbia?

In particolare credo dovrebbero trattarsi di quattro casi credo:
$lim_(x->0)(f(x)/g(x)) con f(x)/g(x)=0/0$
$lim_(x->\infty)(f(x)/g(x)) con f(x)/g(x)=0/0$
$lim_(x->0)(f(x)/g(x)) con f(x)/g(x)=\infty/\infty$
$lim_(x->\infty)(f(x)/g(x)) con f(x)/g(x)=\infty/\infty$

Io dai miei appunti non ci capisco molto, perchè per giunta le dimostrazioni sono tutte completamente diverse tra loro.

Grazie e saluti

[misanino]

Prova a guardare qui. Sempre del nostro forum si tratta....
http://lnx.matematicamente.it/teoria/an ... opital.pdf

[Studente Anonimo]

ho visto, grazie, ma purtroppo non è completa

[misanino]

"anonymous_ed8f11":ho visto, grazie, ma purtroppo non è completa

In che senso non è completa?

[Seneca1]

"misanino":[quote="anonymous_ed8f11"]ho visto, grazie, ma purtroppo non è completa

In che senso non è completa?[/quote]

Credo che lui non volesse la dimostrazione del caso $[0/0], x -> x_0$ e poi sentirsi dire quello che spesso scrivono nei testi: "basta cambiare variabile per avere gli altri casi... ".

Penso.

[Studente Anonimo]

Ho trovato tutte le dimostrazioni con punto di accumulazione ($x_0$) finito, mi mancano solo quelle con $x->+\infty$

Volevo chiedervi una cosa, che proprio non riesco a capire.
Per applicare il teorema di Cauchy, è necessario avere un intervallo chiuso e limitato, ma il mio professore lo applica anche se uno dei due estremi vale infinito (lo fa passando al limite). A me questo però crea grande confusione...

Prendiamo il caso $lim_(x \to +\infty)(f(x)/g(x))=0/0$ e $lim_(x \to +\infty)((f'(x))/(g'(x)))=l in RR$

Per definizione di limite vale che $AA \epsilon <0 EE A>0 t.c. x>A =>|(f'(x))/(g'(x))-l|<\epsilon$
Ora dovrei applicare Cauchy ad un qualche intervallo, ma questo risulterà sempre aperto
Il mio prof usa lo stratagemma sopra descritto, ma non ho capito come funzioni...

E grazie dei consigli!

[Studente Anonimo]

Scusate se scrivo due volte di fila, ma non ho proprio idee su come finire quest'ultimo caso...

[misanino]

"anonymous_ed8f11":Ho trovato tutte le dimostrazioni con punto di accumulazione ($x_0$) finito, mi mancano solo quelle con $x->+\infty$

Volevo chiedervi una cosa, che proprio non riesco a capire.
Per applicare il teorema di Cauchy, è necessario avere un intervallo chiuso e limitato, ma il mio professore lo applica anche se uno dei due estremi vale infinito (lo fa passando al limite). A me questo però crea grande confusione...

Prendiamo il caso $lim_(x \to +\infty)(f(x)/g(x))=0/0$ e $lim_(x \to +\infty)((f'(x))/(g'(x)))=l in RR$

Per definizione di limite vale che $AA \epsilon <0 EE A>0 t.c. x>A =>|(f'(x))/(g'(x))-l|<\epsilon$
Ora dovrei applicare Cauchy ad un qualche intervallo, ma questo risulterà sempre aperto
Il mio prof usa lo stratagemma sopra descritto, ma non ho capito come funzioni...

E grazie dei consigli!

Io dico che il tutto discende semplicemente se hai già fatto il caso $x_0$ finito.
Infatti prendiamo il caso da te citato:
devi calcolare $lim_(x \to +\infty)(f(x)/g(x))$.
Ora col cambio di variabile $z=1/x$ ho che il tutto diventa $lim_(z \to 0^+)(f(1/z)/g(1/z))$.
Questo rientra nel caso $x_0$ finito e quindi $lim_(z \to 0^+)(f(1/z)/g(1/z))=lim_(z \to 0^+)(del/(del(z))f(1/z))/(del/(del(z))g(1/z))$
Ora $del/(del(z))f(1/z)=-1/z^2*f'(1/z)$ e stessa cosa per g.
Allora $lim_(z \to 0^+)(del/(del(z))f(1/z))/(del/(del(z))g(1/z))=lim_(z \to 0^+)f'(1/z))/g'(1/z))$
e cambiando di nuovo variabile $x=1/z$ ho $lim_(z \to 0^+)f'(1/z))/g'(1/z))=lim_(x \to +\infty)(f'(x)/g'(x))$
e quindi ripercorrendo la catena di uguaglianze:
$lim_(x \to +\infty)(f(x)/g(x))=lim_(x \to +\infty)(f'(x)/g'(x))$