Dimostrazione C.N. alla convergenza delle serie
Il teorema dice che se il limite del termine generale di una serie è infinitesimo la serie potrebbe convergere.
Ora dovrei dimostrarlo, e ho dei dubbi.
Considero una generica serie di termine generale an, e pongo il limite di an=S, devo provare che esso è 0.
Considero la somma parziale Sn e:
[tex]Sn+1-Sn=(a1+a2+...+an+an+1)-(a1+a2+...+an)[/tex]
A questo punto semplificando mi rimane:
[tex]an+1[/tex]
E nel quadermo mi ritrovo che:
[tex]\lim_{n \to \infty }(an+1)=\lim_{n \to \infty }(Sn+1-Sn)=S-S=0[/tex]
Non capisco perchè:
[tex]\lim_{n \to \infty }(an+1)=\lim_{n \to \infty }(Sn+1-Sn)[/tex]
In base a che cosa?
Poi possiamo dire che sia S-S perchè se per ipotesi il limite di an è S allora essendo crescente anche an+1 avrà limite S che è uguale al Sup?
Per questo?
Ora dovrei dimostrarlo, e ho dei dubbi.
Considero una generica serie di termine generale an, e pongo il limite di an=S, devo provare che esso è 0.
Considero la somma parziale Sn e:
[tex]Sn+1-Sn=(a1+a2+...+an+an+1)-(a1+a2+...+an)[/tex]
A questo punto semplificando mi rimane:
[tex]an+1[/tex]
E nel quadermo mi ritrovo che:
[tex]\lim_{n \to \infty }(an+1)=\lim_{n \to \infty }(Sn+1-Sn)=S-S=0[/tex]
Non capisco perchè:
[tex]\lim_{n \to \infty }(an+1)=\lim_{n \to \infty }(Sn+1-Sn)[/tex]
In base a che cosa?
Poi possiamo dire che sia S-S perchè se per ipotesi il limite di an è S allora essendo crescente anche an+1 avrà limite S che è uguale al Sup?
Per questo?
Risposte
Parliamo di serie in generale di numeri complessi. Se questa per definizione converge, la sua successione $S_n$ delle somme parziali converge, e quindi è una successione di cauchy.
Allora vale che:
$|S_m - S_n| < epsilon $ per $n,m > N$ in particolare scegliendo ogni volta $m=n+1$ hai che:
$ |S_m - S_n| = |a_(n+1)| < epsilon$ per $n > N$
Il che è equivalente ad affermare che la successione $a_n$ dei termini della serie converge a $0$.
La dimostrazione che non possa valere il contrario è data dal classico esempio della serie armonica.
[edit] Il limite di una successione è una proprietà assunta definitivamente, per cui se hai che la relazione che esprime quella proprietà è soddisfatta definitivamente, ciò vale tanto per la successione $S_(N+1)$ che per la $S_N$.
Quando sai che esistono i limiti di due successioni, allora il limite della loro differenza converge alla differenza dei limiti.
Poichè in questo le due successioni convergono allo stesso limite, ciò equivale alla tesi che viene dimostrata sui tuoi appunti.
Allora vale che:
$|S_m - S_n| < epsilon $ per $n,m > N$ in particolare scegliendo ogni volta $m=n+1$ hai che:
$ |S_m - S_n| = |a_(n+1)| < epsilon$ per $n > N$
Il che è equivalente ad affermare che la successione $a_n$ dei termini della serie converge a $0$.
La dimostrazione che non possa valere il contrario è data dal classico esempio della serie armonica.
[edit] Il limite di una successione è una proprietà assunta definitivamente, per cui se hai che la relazione che esprime quella proprietà è soddisfatta definitivamente, ciò vale tanto per la successione $S_(N+1)$ che per la $S_N$.
Quando sai che esistono i limiti di due successioni, allora il limite della loro differenza converge alla differenza dei limiti.
Poichè in questo le due successioni convergono allo stesso limite, ciò equivale alla tesi che viene dimostrata sui tuoi appunti.
Quindi il fatto è che siccome Sn tende ad S, significa che questa è vera a partire da n(definitivamente vera dovrebbe indicare a partire da un indice)
Allora anche per n+1 perchè maggiore di n sarà vera, quindi Sn+1 converge allo stesso valore di Sn per questo motivo?
Allora anche per n+1 perchè maggiore di n sarà vera, quindi Sn+1 converge allo stesso valore di Sn per questo motivo?
Quel maggiore di $n$ non capisco cosa c'entra. Se prendi questa $S_(n+1000)$ converge allo stesso limite di $S_n$, qundi se consideri la successione i cui termini sono la somma di 1000 termini consecutivi della serie, anche quella tende a zero. Perchè $(S_(n+1000) - S_n) -> 0$.
La successione $S_(n+1)$ converge dove converge $S_n$, perchè il fatto che alla prima manca il termine iniziale, cioè $s_1 = a_1$, non ha importanza per il limite, in quanto le due successioni sono identiche a parte il primo termine, e le relazioni che devono essere soddisfatte per verificare l'esistenza del limite lo sono sempre definitivamente.
Poichè poi $S_(n+1) - S_n = a_(n+1)$. Allora il limite della successione $a_(n+1)$ sarà: $S-S = 0$ e, per la stessa ragione espressa prima, il limite di $a_n$ sarà lo stesso, cioè $0$.
PS
definitivamente significa a partire da un certo $N$ si.
La successione $S_(n+1)$ converge dove converge $S_n$, perchè il fatto che alla prima manca il termine iniziale, cioè $s_1 = a_1$, non ha importanza per il limite, in quanto le due successioni sono identiche a parte il primo termine, e le relazioni che devono essere soddisfatte per verificare l'esistenza del limite lo sono sempre definitivamente.
Poichè poi $S_(n+1) - S_n = a_(n+1)$. Allora il limite della successione $a_(n+1)$ sarà: $S-S = 0$ e, per la stessa ragione espressa prima, il limite di $a_n$ sarà lo stesso, cioè $0$.
PS
definitivamente significa a partire da un certo $N$ si.
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