Dimostrazione che la chiusura di un insieme è un chiuso...

[lucabro1]

..., il più piccolo chiuso contenente l'insieme

La definizione che ci è stata data è questa:
Dato $(X,d)$ spazio metrico e $E sube X$
Si dice "chiusura di $E$" e si indica con $bar(E)$ l'insieme ${x \in X | x$ è punto di aderenza di $E}$
$bar(E)$ è chiuso (è il più piccolo chiuso contenente $E$)

La definizione così come la preposizione seguente mi sono chiare, ma per dimostrare quest'ultima ci è stato detto di verificare che il complemento della chiusura di $E$ deve essere uguale alla parte interna del complemento di $E$, che per me però è già ovvio....

Qualche suggerimento su come formalizzare questa cosa?

[Seneca1]

\[ \complement \overline{E} = \{ x \in X | x \text{ non è un punto di aderenza di } E \} \]
\[ = \{ x \in X | \text{ esiste } U \text{ intorno aperto di } x \text{ tale che } U \cap E = \emptyset \} \]
\[ = \{ x \in X | \text{ esiste } U \text{ intorno aperto di } x \text{ tale che } U \subset \complement E \} = \text{ int} (\complement E) \]

[fede_mat11]

Puoi fare così per formalizzare:

poniamo $bar(E) $ = \(\cap\) $ C $ chiusi che mi contengono $ E $
Sappiamo che a livello insiemistico $ X $ \ ( \(\cap\) $C $ ) = \(\cup\) $ (X $\ $ C) $ (il complementare di un'intersezione è l'unione dei complementari: legge di De Morgan)
quindi $ X $ \ $ bar(E) $ = \(\cup\) $ A $ aperti =(X\C) che sono contenuti in $ X $ \ $E $ ma questa è proprio la definizione di parte interna di $ X $ \$E $
c.v.d

[lucabro1]

Ok grazie mille ragazzi