Dimostrazione che gl spazi di sobolev sono sp di banach

[rospella1]

Ciao ragazzi, qualcuno conosce la dimostrazione del fatto che gli spazi di sobolev sono anche spazi di Banach? Mi sono bloccata in un punto e non riesco a capire un pezzo.

[gugo82]

E se non ci dici quale punto è difficile aiutarti.

Comunque la dimostrazione la trovi sul Brezis.

[dissonance]

Ne abbiamo parlato sul forum in passato, una ricerca ti può essere d'aiuto. Comunque, dove ti blocchi? Questa dimostrazione può procedere per (almeno) due vie:

[*:1p4pdy2l] Sia $\Omega \subset RR^N$ aperto. Si definisce una applicazione $L: W^{k, p}(\Omega)\to L^p(\Omega) \times \ldots \times L^p(\Omega)$ associando ad ogni $u \in W^{k, p}(\Omega)$ la lista $(D^{alpha}u\ |\ \alpha \in NN^N,\ |\alpha| \le k)$ (contiene $u$ e tutte le derivate fino all'ordine $k$-esimo). Questa mappa risulta essere una isometria lineare: dimostrando che essa ha l'immagine chiusa, e ricordando che il prodotto di spazi di Banach (quali sono gli spazi $L^p(\Omega)$) è spazio di Banach, segue che $W^{k, p}(\Omega)$ è completo. [/*:m:1p4pdy2l]
[*:1p4pdy2l]Si prende una successione $(u_n)_{n \in NN}$ di Cauchy in $W^{k, p}(\Omega)$ e si dimostra che sono successioni di Cauchy nel senso di $L^p(\Omega)$ le $(D^{\alpha}u_n)_{n\inNN}$, dove $alpha$ è un multiindice di lunghezza minore o uguale a $k$. Dalla completezza di $L^p(\Omega)$ si ottiene che queste successioni convergono, si tratterà poi di mostrare che anche $(u_n)_{n\inNN}$ converge nel senso di $W^{k, p}(\Omega)$. [/*:m:1p4pdy2l][/list:u:1p4pdy2l]
Tu stai seguendo una di queste strade?

[edit] Come è ovvio scrivevo contemporaneamente a Gugo.

[rospella1]

ciao, scusate se non ho scritto nulla, prima volevo sapere se qualcuno consceva la dimostrazione se nò sarebbe stata inutile la fatica fatta per scrivere tutto!
Comunque il mio professore usa diciamo la seconda strada Dissonance.
Ho scannerizzato la dimostrazione del professore perchè sarebbe troppo lunga da scrivere, ecco qua il link diretto:

http://img806.imageshack.us/img806/2479 ... c0015j.jpg

Scusate se ci sono un sacco di scritte ma mi servono per capire!

Allora, non capisco perchè maggiora la $\Phi$ con il suo massimo, cioè l'ipotesi è che $\Phi$ sia una funzione qualunque di $C_{0}^{\infty}(\Omega)$, ma come si può affermare che è limitata?

Grazie mille

[ViciousGoblin]

"rospella":

Allora, non capisco perchè maggiora la $\Phi$ con il suo massimo, cioè l'ipotesi è che $\Phi$ sia una funzione qualunque di $C_{0}^{\infty}(\Omega)$, ma come si può affermare che è limitata?

Grazie mille

Non ho letto il contenuto del link, ma a questa domanda la risposta mi pare ovvia. Se $\Phi$ è continua e ha supporto compatto ha ovviamente massimo e minimo.

EDIT. Stesso discorso per le derivate di $\Phi$ (ho dato un'occhiata alla scansione della dimostrazione)

[rospella1]

"ViciousGoblin":[quote="rospella"]

Allora, non capisco perchè maggiora la $\Phi$ con il suo massimo, cioè l'ipotesi è che $\Phi$ sia una funzione qualunque di $C_{0}^{\infty}(\Omega)$, ma come si può affermare che è limitata?

Grazie mille

Non ho letto il contenuto del link, ma a questa domanda la risposta mi pare ovvia. Se $\Phi$ è continua e ha supporto compatto ha ovviamente massimo e minimo.

EDIT. Stesso discorso per le derivate di $\Phi$ (ho dato un'occhiata alla scansione della dimostrazione)[/quote]

Ho capito cosa intendi ma io questo teorema lo conosco così: Se una funzione continua è definita su un compatto allora ammette massimi e minimi.
Vale anche se la funzione ha supporto compatto? Oppure c'è qualche implicazione che non ho intuito?

[ViciousGoblin]

"rospella":[quote="ViciousGoblin"][quote="rospella"]

Allora, non capisco perchè maggiora la $\Phi$ con il suo massimo, cioè l'ipotesi è che $\Phi$ sia una funzione qualunque di $C_{0}^{\infty}(\Omega)$, ma come si può affermare che è limitata?

Grazie mille

Non ho letto il contenuto del link, ma a questa domanda la risposta mi pare ovvia. Se $\Phi$ è continua e ha supporto compatto ha ovviamente massimo e minimo.

EDIT. Stesso discorso per le derivate di $\Phi$ (ho dato un'occhiata alla scansione della dimostrazione)[/quote]

Ho capito cosa intendi ma io questo teorema lo conosco così: Se una funzione continua è definita su un compatto allora ammette massimi e minimi.
Vale anche se la funzione ha supporto compatto? Oppure c'è qualche implicazione che non ho intuito?[/quote]

Tu hai una funzione $\Phi$ definita su un aperto e ivi continua. Sai anche che esiste un compatto $K$ contenuto in
$\Omega$ tale che $\Phi(x)=0$ se $x\notin\ K$. Per Weierstrass $\Phi$ ha massimo e minimo in $K$. A questo punto ...

[rospella1]

"ViciousGoblin":[quote="rospella"][quote="ViciousGoblin"][quote="rospella"]

Allora, non capisco perchè maggiora la $\Phi$ con il suo massimo, cioè l'ipotesi è che $\Phi$ sia una funzione qualunque di $C_{0}^{\infty}(\Omega)$, ma come si può affermare che è limitata?

Grazie mille

Non ho letto il contenuto del link, ma a questa domanda la risposta mi pare ovvia. Se $\Phi$ è continua e ha supporto compatto ha ovviamente massimo e minimo.

EDIT. Stesso discorso per le derivate di $\Phi$ (ho dato un'occhiata alla scansione della dimostrazione)[/quote]

Ho capito cosa intendi ma io questo teorema lo conosco così: Se una funzione continua è definita su un compatto allora ammette massimi e minimi.
Vale anche se la funzione ha supporto compatto? Oppure c'è qualche implicazione che non ho intuito?[/quote]

Tu hai una funzione $\Phi$ definita su un aperto e ivi continua. Sai anche che esiste un compatto $K$ contenuto in
$\Omega$ tale che $\Phi(x)=0$ se $x\notin\ K$. Per Weierstrass $\Phi$ ha massimo e minimo in $K$. A questo punto ...[/quote]

Ok, capito, grazie mille!