Dimostrazione carattere serie geometrica
sapete darmi o dirmi dove posso trovare una SEMPLICE dimostrazione del CARATTERE DELLA SERIE GEOMETRICA??
grazie in anticipo
grazie in anticipo
Risposte
La serie geometrica di ragione $x \in \RR$ è la serie delle potenze intere di $x:$
\begin{align}
\sum_{k=0}^\infty x^k=1+x+x^2+...+x^n+...
\end{align}
Per studiarne il comportamento dobbiamo studiare il limite della successione delle somme parziali. Cominciamo allora a scrivere le somme parziali:[nota]Si dimostra per induzione che
\begin{align}
1+x+x^2+...+x^n= \frac{1-x^{n+1}}{1-x},\qquad x\not=1.
\end{align}[/nota].
\begin{align*}
S_0=a_0=x^0=1,\quad
S_1&=a_0+a_1=x^0=1+x,\quad
S_2=a_0+a_1+a_2=x^0=1+x+x^2,\\
S_n&=1+x+x^2+...+x^n=\begin{cases} \frac{1-x^{n+1}}{1-x}, & \mbox{se }x\not=1 \\\\ n+1, & \mbox{se }x=1
\end{cases};
\end{align*}
allora ricordando il limite notevole, si ha:
\begin{align*}
\lim_{n \to+ \infty}S_n =\lim_{n \to \infty}x^n=\begin{cases}
+ \infty, & \mbox{se }x>1, \\
1& \mbox{se }x=1,\\
0& \mbox{se }|x|<1,\\
\not\exists& \mbox{se }x<-1.\\
\end{cases} \quad \text{abbiamo che} \quad\lim_{n \to+ \infty}S_n =\begin{cases}
\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} \frac{1-x^{n+1}}{1-x}=\begin{cases}
+ \infty, & \mbox{se }x>1, \\
1/1-x& \mbox{se }|x|<1,\\
\not\exists& \mbox{se }x<-1.\\
\end{cases} \\\\
\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} n+1=+ \infty,\,\, \mbox{se }x=1
\end{cases}.
\end{align*}
Concludendo: per $x > 1$ la serie diverge a $+ \infty:$ per $|x| < 1,$ la serie converge a $1/(1-x);$ per $x<-1,$ la serie è indeterminata.
\begin{align}
\sum_{k=0}^\infty x^k=1+x+x^2+...+x^n+...
\end{align}
Per studiarne il comportamento dobbiamo studiare il limite della successione delle somme parziali. Cominciamo allora a scrivere le somme parziali:[nota]Si dimostra per induzione che
\begin{align}
1+x+x^2+...+x^n= \frac{1-x^{n+1}}{1-x},\qquad x\not=1.
\end{align}[/nota].
\begin{align*}
S_0=a_0=x^0=1,\quad
S_1&=a_0+a_1=x^0=1+x,\quad
S_2=a_0+a_1+a_2=x^0=1+x+x^2,\\
S_n&=1+x+x^2+...+x^n=\begin{cases} \frac{1-x^{n+1}}{1-x}, & \mbox{se }x\not=1 \\\\ n+1, & \mbox{se }x=1
\end{cases};
\end{align*}
allora ricordando il limite notevole, si ha:
\begin{align*}
\lim_{n \to+ \infty}S_n =\lim_{n \to \infty}x^n=\begin{cases}
+ \infty, & \mbox{se }x>1, \\
1& \mbox{se }x=1,\\
0& \mbox{se }|x|<1,\\
\not\exists& \mbox{se }x<-1.\\
\end{cases} \quad \text{abbiamo che} \quad\lim_{n \to+ \infty}S_n =\begin{cases}
\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} \frac{1-x^{n+1}}{1-x}=\begin{cases}
+ \infty, & \mbox{se }x>1, \\
1/1-x& \mbox{se }|x|<1,\\
\not\exists& \mbox{se }x<-1.\\
\end{cases} \\\\
\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} n+1=+ \infty,\,\, \mbox{se }x=1
\end{cases}.
\end{align*}
Concludendo: per $x > 1$ la serie diverge a $+ \infty:$ per $|x| < 1,$ la serie converge a $1/(1-x);$ per $x<-1,$ la serie è indeterminata.
grazie 
avresti anche una semplificazione della dimostrazione del criterio di leibniz??
grazieee
grazieee
Be non so se sia una semplificazione, sono teoremi classici che si trovano in tutti i libri di Analis 1; ad ogni modo:
Sia $\sum (-1)^n a_n$ una serie a segni alterni, con$\{a_n\}>0, \forall n \in \NN.$} Se la successione$\{a_n\}$ è decrescente e $ \lim_{n\to+\infty} a_n=0,$allora la serie è convergente.
Dim.
La dimostrazione del criterio di convergenza di Leibniz è molto semplice ed illustrata in figura.
Le somme parziali $S_{2n}$ (che comprendono un numero pari di addendi) formano una successione crescente, perchè $S_{2n+2}-S_{2n}=a_{2n+1}-a_{2n+2}>0.$ Analogamente, le somme parziali $S_{2n-1}$ formano una successione decrescente. Entrambe le successioni sono limitate inferiorment da $S_2$ e superiormente da $S_1.$ Perciò, le due successioni $\{S_{2n}\}$ e $\{S_{2n-1}\},$ essendo monotone e limitate, convergono a limiti finiti; poniamo $S_{2n}\to S'$ e $S_{2n-1}\to S''.$ Ma si ha che $S'= S''$, poichè:
\begin{align}
S'-S''=\lim_{n\to+\infty}S_{2n}-\lim_{n\to+\infty}S_{2n-1}=
\lim_{n\to+\infty}\left(S_{2n}-S_{2n-1}\right) =\lim_{n\to+\infty}\left(-a_{2n}\right)=0.
\end{align}
Se indichiamo questo limite comune $S,$ abbiamo che sia le somme parziali pari sia le somme ridotte dispari della serie data convergono al medesimo limite $S$ che costituisce pertanto la somma della serie.
Sia $\sum (-1)^n a_n$ una serie a segni alterni, con$\{a_n\}>0, \forall n \in \NN.$} Se la successione$\{a_n\}$ è decrescente e $ \lim_{n\to+\infty} a_n=0,$allora la serie è convergente.
Dim.
La dimostrazione del criterio di convergenza di Leibniz è molto semplice ed illustrata in figura.
Le somme parziali $S_{2n}$ (che comprendono un numero pari di addendi) formano una successione crescente, perchè $S_{2n+2}-S_{2n}=a_{2n+1}-a_{2n+2}>0.$ Analogamente, le somme parziali $S_{2n-1}$ formano una successione decrescente. Entrambe le successioni sono limitate inferiorment da $S_2$ e superiormente da $S_1.$ Perciò, le due successioni $\{S_{2n}\}$ e $\{S_{2n-1}\},$ essendo monotone e limitate, convergono a limiti finiti; poniamo $S_{2n}\to S'$ e $S_{2n-1}\to S''.$ Ma si ha che $S'= S''$, poichè:
\begin{align}
S'-S''=\lim_{n\to+\infty}S_{2n}-\lim_{n\to+\infty}S_{2n-1}=
\lim_{n\to+\infty}\left(S_{2n}-S_{2n-1}\right) =\lim_{n\to+\infty}\left(-a_{2n}\right)=0.
\end{align}
Se indichiamo questo limite comune $S,$ abbiamo che sia le somme parziali pari sia le somme ridotte dispari della serie data convergono al medesimo limite $S$ che costituisce pertanto la somma della serie.
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