Dimostrazione campo conservativo con gauss-green
ragazzi vi posto il teorema con dimostrazione vorrei che qualcuno mi correggesse su la formalità di scrittura e se le ipotesi sono giuste o se occorre aggiungere ulteriori ipotesi per procedere con i passaggi, vi scrivo i dubbi tra parentesi
Teorema
sia $F=(f,g)$ un campo vettoriale definito $F:A in RR^2->RR^2$ e $(f,g):D in RR^2->R$. sia inoltre $F in C^(1)(A)$ un campo irrotazionale con $A$ un insieme semplicemente connesso (va esplicitato inoltre che A è un insieme chiuso e limitato ??) allora $F$ è un campo conservativo e vale che :
$\int\int_(A)((delg)/(delx)-(delf)/(dely))=\int_(del^(+)A)F=0$
dimostrazione
1) per Hp $F$ è irrotazionale quindi per definizione $(delg)/(delx)=(delf)/(dely)$ quindi il primo integrale è nullo
2) per Hp A è un insieme semplicemente connesso , chiuso e limitato (il dubbio di prima) allora la frontiera di A è una curva chiusa, ovvero consideriamo la parametrizzazione della frontiera di A ovvero $A(t):[a,b]->RR^(2)$ se questa curva è chiusa allora per definizione abbiamo che $A(a)=A(b)=p$ con $p$ il punto generico che chiude la curva allora
$\int_(del^(+)A)F=\int_(a)^(b) F(A(t))*A'(t) dt=\int_(a)^(b)(delF(A(t)))/(delt) dt=F(A(t))|_(a)^(b)=F(A(b))-F(A(a))=F(p)-F(p)=0$
per dimostrare ho usato il teorema della composizione di funzioni(il passaggio tra il secondo e il terzo integrale) ma cè qualcosa che mi sfugge, ovvero credo di aver sbagliato qualcosa ditemi voi aspetto risposta
Teorema
sia $F=(f,g)$ un campo vettoriale definito $F:A in RR^2->RR^2$ e $(f,g):D in RR^2->R$. sia inoltre $F in C^(1)(A)$ un campo irrotazionale con $A$ un insieme semplicemente connesso (va esplicitato inoltre che A è un insieme chiuso e limitato ??) allora $F$ è un campo conservativo e vale che :
$\int\int_(A)((delg)/(delx)-(delf)/(dely))=\int_(del^(+)A)F=0$
dimostrazione
1) per Hp $F$ è irrotazionale quindi per definizione $(delg)/(delx)=(delf)/(dely)$ quindi il primo integrale è nullo
2) per Hp A è un insieme semplicemente connesso , chiuso e limitato (il dubbio di prima) allora la frontiera di A è una curva chiusa, ovvero consideriamo la parametrizzazione della frontiera di A ovvero $A(t):[a,b]->RR^(2)$ se questa curva è chiusa allora per definizione abbiamo che $A(a)=A(b)=p$ con $p$ il punto generico che chiude la curva allora
$\int_(del^(+)A)F=\int_(a)^(b) F(A(t))*A'(t) dt=\int_(a)^(b)(delF(A(t)))/(delt) dt=F(A(t))|_(a)^(b)=F(A(b))-F(A(a))=F(p)-F(p)=0$
per dimostrare ho usato il teorema della composizione di funzioni(il passaggio tra il secondo e il terzo integrale) ma cè qualcosa che mi sfugge, ovvero credo di aver sbagliato qualcosa ditemi voi aspetto risposta
Risposte
Non hai dimostrato niente. Hai solo scritto che $0$ è uguale a $0$.
la mia prof la fa cosi la dimostrazione non capisco perche mi stai dicendo che non ho dimostrato nulla puoi essere piu chiaro??per chiarirci la mia prof dice che se integrale su una curva chiusa è nullo allora F è necessariamente conservativo cioè ammette un potenziale eil $\gradU=F$ quindi vale la doppia implicazione tra la conservatività di F e la circuitazione del integrale di F
Deve succedere che l'integrale su *tutte* le curve chiuse si annulla. Quindi tu devi prendere una generica curva chiusa e usare le formule di Gauss-Green per dimostrare che il relativo integrale vale 0. Qui ti serve l'ipotesi di semplice connessione.
ma infatti la curva A(t) è una generica curva chiusa non capisco perche non lo sia.
$A(t)$ la parametrizzazione della frontiera di $A$...Se è la parametrizzazione della frontiera di $A$ è una curva ben specifica, no? Non una curva qualsiasi.
Allora come devo fare per considerare tutte le possibili curve chiuse? Postresti scrivermi la dimostrazione per favore
disso forse ho capito dimmi se va bene o meno
Teorema
sia $F=(F1,F2)$ un campo vettoriale definito $F:D in RR^2->RR^2$ con $F in C^(1)(D)$ supponiamo che F è irrotazionale e D e un insieme semplicemente connesso allora F è conservativo
Dim
usando le formule di gauss green abbiamo che
$\int\int_(D) ((delF2)/(delx)-(delF1)/(dely))=0$ per ipotesi di irrotaz. la funzione integranda è nulla
per i la formula di gauss green dobbiamo mostrare che $\int_(del^(+)(D))F=0$
per Hp D è un insieme semplicemente connesso , per definizione per ogni curva chiusa,semplice e regolare interamente contenuta in D è la frontiera di un dominio semplicemente connesso A contenuto in D
quindi basta mostrare che per ogni curva chiusa $\int_(\gamma) F=0 $ allora F è conservativo. per quanto abbiamo detto
per ogni curva chiusa contenuta in D ,ogni curva e la frontiera di un dominio semplicemente connesso cioè
$\int_(\gamma=del^(+)A) F =0$ quindi implica che $F$ è conservativo e presa qualunque curva chiusa precisamente la frontiera di D risulta che
$\int_(del^(+)(D))F=0$
Teorema
sia $F=(F1,F2)$ un campo vettoriale definito $F:D in RR^2->RR^2$ con $F in C^(1)(D)$ supponiamo che F è irrotazionale e D e un insieme semplicemente connesso allora F è conservativo
Dim
usando le formule di gauss green abbiamo che
$\int\int_(D) ((delF2)/(delx)-(delF1)/(dely))=0$ per ipotesi di irrotaz. la funzione integranda è nulla
per i la formula di gauss green dobbiamo mostrare che $\int_(del^(+)(D))F=0$
per Hp D è un insieme semplicemente connesso , per definizione per ogni curva chiusa,semplice e regolare interamente contenuta in D è la frontiera di un dominio semplicemente connesso A contenuto in D
quindi basta mostrare che per ogni curva chiusa $\int_(\gamma) F=0 $ allora F è conservativo. per quanto abbiamo detto
per ogni curva chiusa contenuta in D ,ogni curva e la frontiera di un dominio semplicemente connesso cioè
$\int_(\gamma=del^(+)A) F =0$ quindi implica che $F$ è conservativo e presa qualunque curva chiusa precisamente la frontiera di D risulta che
$\int_(del^(+)(D))F=0$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo