Dimostrazione assoluta convergenza
Dovrei dimostrare che se una serie converge assolutamente, allora essa è convergente.
Non ho trovato questa dimostrazione da nessuna parte, quindi sto provando a ricavarmela io... ma non sono molto ferrato con le dimostrazioni :\
In un primo momento avevo pensato di applicare la definizione di limite sulle successioni delle somme parziali, ovvero:
Sia $a_n$ una successione qualsiasi,
Sia $s_n$ la successione delle somme parziali di $a_n$ e $S_n$ la successione delle somme parziali di $|a_n|$.
Volevo dimostrare che $lim_n S_n = l in RR => lim_n s_n = l-k, k>=0$
(dico $l-k$ perché so che risulta $|sum a_n| <= sum |a_n|$)
Ad ogni modo, partendo dalla definizione di limite per $S_n$ non sono riuscito ad arrivare da nessuna parte
Allora ho provato a cambiare metodo, considerando che $s_n<=S_n AA n in NN$.. quindi ho provato ad applicare banalmente il criterio del confronto, ma poi ho ricordato che è necessario che $s_n$ debba essere $>=0$, cosa che ovviamente non è assolutamente garantita... a questo punto non so più come procedere...
Suggerimenti?
EDIT:
Mmm... forse ci sono arrivato, ma non mi convince molto:
per ipotesi $sum |a_n|$ converge, pertanto $AA \epsilon > 0$ $EE N in NN$ t.c. $AA n>N : l-\epsilon < S_n < l+ \epsilon$
Ora aggiungo $s_n$ a tutti e tre i membri, ricordando che $S_n+s_n>=0$ e chiamando $k$ tale numero positivo.
Quindi risulta $l-\epsilon+s_n < S_n+s_n < l + \epsilon-s_n$
Poi sottraggo $S_n$ ed ho $l-\epsilon+s_n-S_n < s_n < l + \epsilon+s_n-S_n$
Noto che $s_n-S_n = -k$, pertanto risulta $l-k-\epsilon < s_n < l - k + \epsilon$, ovvero $lim_n s_n =l-k$.
Does it work?
Non ho trovato questa dimostrazione da nessuna parte, quindi sto provando a ricavarmela io... ma non sono molto ferrato con le dimostrazioni :\
In un primo momento avevo pensato di applicare la definizione di limite sulle successioni delle somme parziali, ovvero:
Sia $a_n$ una successione qualsiasi,
Sia $s_n$ la successione delle somme parziali di $a_n$ e $S_n$ la successione delle somme parziali di $|a_n|$.
Volevo dimostrare che $lim_n S_n = l in RR => lim_n s_n = l-k, k>=0$
(dico $l-k$ perché so che risulta $|sum a_n| <= sum |a_n|$)
Ad ogni modo, partendo dalla definizione di limite per $S_n$ non sono riuscito ad arrivare da nessuna parte
Allora ho provato a cambiare metodo, considerando che $s_n<=S_n AA n in NN$.. quindi ho provato ad applicare banalmente il criterio del confronto, ma poi ho ricordato che è necessario che $s_n$ debba essere $>=0$, cosa che ovviamente non è assolutamente garantita... a questo punto non so più come procedere...
Suggerimenti?
EDIT:
Mmm... forse ci sono arrivato, ma non mi convince molto:
per ipotesi $sum |a_n|$ converge, pertanto $AA \epsilon > 0$ $EE N in NN$ t.c. $AA n>N : l-\epsilon < S_n < l+ \epsilon$
Ora aggiungo $s_n$ a tutti e tre i membri, ricordando che $S_n+s_n>=0$ e chiamando $k$ tale numero positivo.
Quindi risulta $l-\epsilon+s_n < S_n+s_n < l + \epsilon-s_n$
Poi sottraggo $S_n$ ed ho $l-\epsilon+s_n-S_n < s_n < l + \epsilon+s_n-S_n$
Noto che $s_n-S_n = -k$, pertanto risulta $l-k-\epsilon < s_n < l - k + \epsilon$, ovvero $lim_n s_n =l-k$.
Does it work?
Risposte
No, no. Ti dico solo una frase: criterio di Cauchy. E' lì la chiave di tutto e senza di esso non faresti nulla.
"dissonance":
No, no. Ti dico solo una frase: criterio di Cauchy. E' lì la chiave di tutto e senza di esso non faresti nulla.
Azz.. ma noi non l'abbiamo studiato... :\
Ora mi chiedo, perché mai il professore dovrebbe richiederci una dimostrazione (da lui non data) per cui è richiesto sapere un qualcosa che esula dal suo programma? :\
Ma è sbagliato quel che ho scritto io? Mi potresti indicare gli errori?
Sinceramente vorrei evitare di andarmi a studiare altre cose (che poi magari non sono richieste) a pochi giorni dall'orale, considerato anche che ho ancora un po' da fare...
Non è possibile che non lo avete studiato. Magari lo avete chiamato con un altro nome, ma di sicuro lo avete fatto. E' un caposaldo (se non il caposaldo) di tutta l'analisi. Parlo di questo:
Sia [tex](a_n)_{n \in \mathbb{N}}[/tex] una successione di numeri reali. Sono equivalenti:
Sia [tex](a_n)_{n \in \mathbb{N}}[/tex] una successione di numeri reali. Sono equivalenti:
- [*:15fgtujl][tex](a_n)[/tex] è convergente;[/*:m:15fgtujl]
[*:15fgtujl][tex]\forall \varepsilon>0\ \exists \nu \in \mathbb{N}\ \text{t.c.}\ \forall n, m > \nu,\ \lvert a_n - a_m \rvert < \varepsilon[/tex] (ovvero [tex](a_n)[/tex] è una successione di Cauchy).[/*:m:15fgtujl][/list:u:15fgtujl]
"dissonance":
Non è possibile che non lo avete studiato. Magari lo avete chiamato con un altro nome, ma di sicuro lo avete fatto.
Ehm... mi spiace deluderti ma no :\
E' un corso di analisi per un CdL in informatica, quindi è piuttosto essenziale. "Ma non può mancare Cauchy!", dirai tu... beh, invece evidentemente...
Riporto la parte del programma relativa alle successioni e alle serie:
- Successioni
Generalità. Cenni sulle definizioni per ricorrenza. Definizione di limite (finito ed infinito). Successioni regolari e non. Successioni monotone (dimostrazione parziale della regolarità); il numero di Nepero; progressione geometrica. Teoremi di permanenza del segno (con dimostrazione), confronto (con dimostrazione), divergenza e convergenza obbligata (con dimostrazione).
- Serie numeriche
Serie numeriche. Esempi di calcolo delle somme parziali: serie geometrica e serie telescopiche. Teoremi sulle serie convergenti, condizione necessaria. Somme approssimate. Serie a termini non negativi: regolarità (con dimostrazione), criteri di confronto e di confronto asintotico, serie armonica generalizzata, criteri del rapporto e degli infinitesimi. Serie a termini di segno variabile: criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno; assoluta convergenza (con dimostrazione).
Niente Cauchy, né criteri di Cauchy, né successioni di Cauchy, nemmeno sotto altro nome... per questo mi sembra strano che venga richiesta una dimostrazione che necessiti di un argomento fuori dal programma. Tra l'altro come ho detto la dimostrazione non è presente nemmeno sulle dispense del prof..
Comunque penso che magari abbia fatto la dimostrazione in aula, sicuramente utilizzando Cauchy pur senza menzionarlo... e sicuramente quel giorno ero assente!
Senti, la dimostrazione di questo risultato è come segue; certamente non è l'unica strada possibile ma altrettanto certamente tutte le strade devono passare dal criterio di Cauchy: si dimostra infatti che il teorema sull'assoluta convergenza delle serie e il criterio di Cauchy sono equivalenti. Inoltre il criterio di Cauchy puoi assumerlo come una proprietà fondamentale dei numeri reali, da prendere senza dimostrazione.
Il criterio di Cauchy dice che una successione converge se e solo se i propri termini sono, per indici sufficientemente grandi, "vicini" tra loro: preso un qualsiasi $epsilon$, deve essere che $a_n, a_m$ distano tra loro meno di $epsilon$ per tutti gli indici $n, m$ sufficientemente grandi.
Ora consideriamo la serie $sum_{n=1}^\infty x_n$ e la successione $S_n=x_1+x_2+...+x_n$ delle somme parziali. Per il criterio di Cauchy questa converge se e solo se
$\forall epsilon \exists \nu\ "t.c."\ \forall n,m>nu,\ |S_n-S_m|
ma $S_n-S_m=x_1+...+x_n-x_1-...-x_m=x_{m+1}+...+x_n$ (sto supponendo che $m$ sia più piccolo di $n$, altrimenti basterà scambiarli).
Quindi la serie converge se e solo se
$\forall epsilon \exists \nu\ "t.c."\ \forall n,m>nu,\ |x_{m+1}+...+x_{n}|
Ora supponiamo che la serie converga assolutamente. Allora la serie $sum |x_n|$ verifica il criterio di Cauchy e quindi
$\forall epsilon \exists \nu\ "t.c."\ \forall n,m>nu,\ ||x_{m+1}|+...+|x_{n}||
del resto, dalla disuguaglianza $|a+b|<=|a|+|b|$ segue che $|x_{m+1}+...+x_{n}|<=|x_{m+1}|+...+|x_{n}|=||x_{m+1}|+...+|x_{n}||$ e di conseguenza
$\forall epsilon \exists \nu\ "t.c."\ \forall n,m>nu,\ |x_{m+1}+...+x_{n}|<=||x_{m+1}|+...+|x_{n}||
ovvero la tesi. ////
Non ti spaventare della lunghezza: ho giustificato ogni passaggio per cercare la massima chiarezza, ma dietro non c'è nessuna idea particolarmente complicata.
Il criterio di Cauchy dice che una successione converge se e solo se i propri termini sono, per indici sufficientemente grandi, "vicini" tra loro: preso un qualsiasi $epsilon$, deve essere che $a_n, a_m$ distano tra loro meno di $epsilon$ per tutti gli indici $n, m$ sufficientemente grandi.
Ora consideriamo la serie $sum_{n=1}^\infty x_n$ e la successione $S_n=x_1+x_2+...+x_n$ delle somme parziali. Per il criterio di Cauchy questa converge se e solo se
$\forall epsilon \exists \nu\ "t.c."\ \forall n,m>nu,\ |S_n-S_m|
ma $S_n-S_m=x_1+...+x_n-x_1-...-x_m=x_{m+1}+...+x_n$ (sto supponendo che $m$ sia più piccolo di $n$, altrimenti basterà scambiarli).
Quindi la serie converge se e solo se
$\forall epsilon \exists \nu\ "t.c."\ \forall n,m>nu,\ |x_{m+1}+...+x_{n}|
Ora supponiamo che la serie converga assolutamente. Allora la serie $sum |x_n|$ verifica il criterio di Cauchy e quindi
$\forall epsilon \exists \nu\ "t.c."\ \forall n,m>nu,\ ||x_{m+1}|+...+|x_{n}||
del resto, dalla disuguaglianza $|a+b|<=|a|+|b|$ segue che $|x_{m+1}+...+x_{n}|<=|x_{m+1}|+...+|x_{n}|=||x_{m+1}|+...+|x_{n}||$ e di conseguenza
$\forall epsilon \exists \nu\ "t.c."\ \forall n,m>nu,\ |x_{m+1}+...+x_{n}|<=||x_{m+1}|+...+|x_{n}||
ovvero la tesi. ////
Non ti spaventare della lunghezza: ho giustificato ogni passaggio per cercare la massima chiarezza, ma dietro non c'è nessuna idea particolarmente complicata.
Ti ringrazio moltissimo.
In effetti non mi sono spaventato della lunghezza, l'ho letto solo alla fine perché ti ho seguito passo passo!
Sei stato chiarissimo!
In effetti non mi sono spaventato della lunghezza, l'ho letto solo alla fine perché ti ho seguito passo passo!
Sei stato chiarissimo!
Comunque per le serie numeriche si puo' evitare Cauchy ragionando nel modo seguente.
Definisci innanzitutto la parte positiva e la parte negativa di un numero $x$ ponendo
$x^+ :=x$ se $x\geq0$ e $x^+ :=0$ se $x\leq0$ mentre $x^-$ $:=0$ se $x\geq0$ e $x^-$ $:=-x$ se $x\leq0$.
Vedi subito che $x=x^+ -x^-$ e $|x|=x^+ + x^-$ per qualunque $x$ reale e in particolare $0\leq x^+\leq|x|$ e $0\leq x^{-}\leq|x|$.
Allora prendiamo una successione $a_n$ e supponiamo che la serie $\sum_{n=0}^\infty |a_n|$ converga,
Per il criterio del confronto convergono sia $\sum_{n=0}^\infty a_n^{+}$ che $\sum_{n=0}^\infty a_n^{-}$ (dato che $0\leq a_n^{+}\leq|a_n|$ e $0\leq a_n^{-}\leq|a_n|$).
Ne segue che $\sum_{n=0}^\infty a_n$ converge perché $\sum_{n=0}^k a_n=\sum_{n=0}^k (a_n^{+}-a_n^{-})=\sum_{n=0}^k a_n^{+}-\sum_{n=0}^k a_n^{-}\to\sum_{n=0}^\infty a_n^{+}-\sum_{n=0}^\infty a_n^{-}$ (per $k\to\infty$ ). FINE
Quello che si fa vedere in questo modo è quindi che se la serie converge assolutamente allora la somma dei termini positivi di $a_n$ e quella dei termini negativi convergono ognuna per suo conto - non c'è da stupirsi allora che la serie degli $a_n$ converga e abbia come somma la differenza tra le due serie dette prima. Si capisce anche che la convergenza assoluta non sia implicata dalla convergenza semplice: può essere che $\sum_{n=0}^k a_n$ abbia limite, perchè i permini positivi e quelli negativi "si compensano" mentre sia $\sum_{n=0}^k$ che $\sum_{n=0}^k a_n^{-}$ divergono.
Definisci innanzitutto la parte positiva e la parte negativa di un numero $x$ ponendo
$x^+ :=x$ se $x\geq0$ e $x^+ :=0$ se $x\leq0$ mentre $x^-$ $:=0$ se $x\geq0$ e $x^-$ $:=-x$ se $x\leq0$.
Vedi subito che $x=x^+ -x^-$ e $|x|=x^+ + x^-$ per qualunque $x$ reale e in particolare $0\leq x^+\leq|x|$ e $0\leq x^{-}\leq|x|$.
Allora prendiamo una successione $a_n$ e supponiamo che la serie $\sum_{n=0}^\infty |a_n|$ converga,
Per il criterio del confronto convergono sia $\sum_{n=0}^\infty a_n^{+}$ che $\sum_{n=0}^\infty a_n^{-}$ (dato che $0\leq a_n^{+}\leq|a_n|$ e $0\leq a_n^{-}\leq|a_n|$).
Ne segue che $\sum_{n=0}^\infty a_n$ converge perché $\sum_{n=0}^k a_n=\sum_{n=0}^k (a_n^{+}-a_n^{-})=\sum_{n=0}^k a_n^{+}-\sum_{n=0}^k a_n^{-}\to\sum_{n=0}^\infty a_n^{+}-\sum_{n=0}^\infty a_n^{-}$ (per $k\to\infty$ ). FINE
Quello che si fa vedere in questo modo è quindi che se la serie converge assolutamente allora la somma dei termini positivi di $a_n$ e quella dei termini negativi convergono ognuna per suo conto - non c'è da stupirsi allora che la serie degli $a_n$ converga e abbia come somma la differenza tra le due serie dette prima. Si capisce anche che la convergenza assoluta non sia implicata dalla convergenza semplice: può essere che $\sum_{n=0}^k a_n$ abbia limite, perchè i permini positivi e quelli negativi "si compensano" mentre sia $\sum_{n=0}^k$ che $\sum_{n=0}^k a_n^{-}$ divergono.
Certo! Questo è un metodo alternativo che mi piace. Vorrei fare una osservazione di carattere teorico: come dicevo più sopra,
caso particolare del risultato generale secondo cui uno spazio normato è completo se e solo se le serie convergenti in norma sono convergenti.
Ora l'argomentazione di V.G. sembra dimostrare che le serie assolutamente convergenti sono convergenti senza fare ricorso al criterio di Cauchy e quindi alla completezza di $RR$, da cui potrebbero nascere congetture azzardate: per esempio ci si potrebbe chiedere se il risultato analogo non sia valido per $QQ$.
La risposta a quest'ultima domanda è ovviamente no, come mostra un semplicissimo controesempio: $sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}$ è una serie di termini razionali assolutamente convergente, eppure non è convergente in $QQ$.
E infatti una analisi più attenta della dimostrazione di V.G. mostra che anche essa dipende dalla completezza di $RR$ a.k.a. criterio di Cauchy:
Il criterio del confronto tra serie di termini positivi afferma che, date serie $sum a_n, sum b_n$ con $a_n>0, b_n>0$ e $a_n<=b_n$, se $sum b_n$ è convergente allora anche $sum a_n$ è convergente. Questo risultato è conseguenza della completezza di $RR$, nella forma del teorema di regolarità delle successioni monotone: da questo consegue che una serie di termini positivi la cui successione delle somme parziali sia limitata è convergente, il resto è immediato.
A conferma di quanto detto, facciamo un esempio che mostri come il criterio del confronto non sia valido in $QQ$. Consideriamo le serie $sum_{n=1}^\infty\frac{3}{10^n}$ e $sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}$. Confrontando asintoticamente i termini generali si ottiene
$lim_{n\to \infty}\frac{1}{n!}\frac{10^n}{3}=0$;
di conseguenza vale la disuguaglianza
$\frac{1}{n!}<=\frac{3}{10^n}$ per ogni $n$ sufficientemente grande.
La serie $sum_{n=1}^\infty \frac{3}{10^n}$ è convergente in $QQ$ (a quale numero?); tuttavia questo non ci permette di concludere che anche l'altra serie lo sia, cosa che difatti è falsa. E' venuta a mancare la completezza.
si dimostra infatti che il teorema sull'assoluta convergenza delle serie e il criterio di Cauchy sono equivalenti
caso particolare del risultato generale secondo cui uno spazio normato è completo se e solo se le serie convergenti in norma sono convergenti.
Ora l'argomentazione di V.G. sembra dimostrare che le serie assolutamente convergenti sono convergenti senza fare ricorso al criterio di Cauchy e quindi alla completezza di $RR$, da cui potrebbero nascere congetture azzardate: per esempio ci si potrebbe chiedere se il risultato analogo non sia valido per $QQ$.
La risposta a quest'ultima domanda è ovviamente no, come mostra un semplicissimo controesempio: $sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}$ è una serie di termini razionali assolutamente convergente, eppure non è convergente in $QQ$.
E infatti una analisi più attenta della dimostrazione di V.G. mostra che anche essa dipende dalla completezza di $RR$ a.k.a. criterio di Cauchy:
"ViciousGoblin":
Per il criterio del confronto...
Il criterio del confronto tra serie di termini positivi afferma che, date serie $sum a_n, sum b_n$ con $a_n>0, b_n>0$ e $a_n<=b_n$, se $sum b_n$ è convergente allora anche $sum a_n$ è convergente. Questo risultato è conseguenza della completezza di $RR$, nella forma del teorema di regolarità delle successioni monotone: da questo consegue che una serie di termini positivi la cui successione delle somme parziali sia limitata è convergente, il resto è immediato.
A conferma di quanto detto, facciamo un esempio che mostri come il criterio del confronto non sia valido in $QQ$. Consideriamo le serie $sum_{n=1}^\infty\frac{3}{10^n}$ e $sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}$. Confrontando asintoticamente i termini generali si ottiene
$lim_{n\to \infty}\frac{1}{n!}\frac{10^n}{3}=0$;
di conseguenza vale la disuguaglianza
$\frac{1}{n!}<=\frac{3}{10^n}$ per ogni $n$ sufficientemente grande.
La serie $sum_{n=1}^\infty \frac{3}{10^n}$ è convergente in $QQ$ (a quale numero?); tuttavia questo non ci permette di concludere che anche l'altra serie lo sia, cosa che difatti è falsa. E' venuta a mancare la completezza.
"dissonance":
[...]
La serie $sum_{n=1}^\infty \frac{3}{10^n}$ è convergente in $QQ$ (a quale numero?); tuttavia questo non ci permette di concludere che anche l'altra serie lo sia, cosa che difatti è falsa. E' venuta a mancare la completezza.
...a questa rispondo io!!!
Converge al numero $10/3$ !! (ovviamente sono punti esclamativi e non doppio fattoriale!
)EDIT:
Anzi no! converge ad $1/3$ in quanto l'indice $n$ parte da $1$ :p
Converge ad $1/3$, si. Infatti la scrittura $sum_{n=1}^\infty 3/(10^n)$ è una maniera compatta di scrivere
$3/10+3/100+3/1000+...=0.333...$
si tratta di un numero decimale periodico, quindi razionale ma con un allineamento decimale infinito. L'altra serie invece converge ad $e$ che si dimostra non essere razionale (esercizio interessante).
$3/10+3/100+3/1000+...=0.333...$
si tratta di un numero decimale periodico, quindi razionale ma con un allineamento decimale infinito. L'altra serie invece converge ad $e$ che si dimostra non essere razionale (esercizio interessante).
"The_Mad_Hatter":
Sia $a_n$ una successione qualsiasi,
Sia $s_n$ la successione delle somme parziali di $a_n$ e $S_n$ la successione delle somme parziali di $|a_n|$.
Ipotesi: $|a_n|$ converge.
Tesi: $a_n$ converge.
per ipotesi $sum |a_n|$ converge, pertanto $AA \epsilon > 0$ $EE N in NN$ t.c. $AA n>N : l-\epsilon < S_n < l+ \epsilon$
Ora aggiungo $s_n$ a tutti e tre i membri, ricordando che $S_n+s_n>=0$ e chiamando $k$ tale numero positivo.
Quindi risulta $l-\epsilon+s_n < S_n+s_n < l + \epsilon-s_n$
Poi sottraggo $S_n$ ed ho $l-\epsilon+s_n-S_n < s_n < l + \epsilon+s_n-S_n$
Noto che $s_n-S_n = -k$, pertanto risulta $l-k-\epsilon < s_n < l - k + \epsilon$, ovvero $lim_n s_n =l-k$.
Scusate se torno su questo topic, ma questa dimostrazione è sbagliata?
Quali sono i passaggi critici?
Molto di fretta: il $k$ di cui parli in realtà è un $k_n$ (nel senso che varia $n$ per $n$) e non sai che $k_n$ ha limite (sai solo che $k_n\geq0$)
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