Dimostrazione annullamento del prodotto

[Archimede11]

Eccoci con il primo quesito di natura teorica.

Il testo vuole dimostrare la seguente proprietà (discendente dagli assiomi fondamentali).

Proprietà: Il prodotto $a*b$ è nullo se e soltanto se almeno uno dei due fattori è nullo.

Dim: (c'è un discorso preliminare dove dice che nella dimostrazione userà l'esistenza dell'elemento neutro, opposto).

$a + a*0 = a*1 + a*0 = a*(1+0) = a*1 = a = a + 0$ da cui per la proprietà di esemplificazione rispetto alla somma abbiamo $a*0 = 0$.

Questa è solo la prima parte. Il dubbio è da dove salta fuori $a + a*0$. Il resto della dimostrazione l'ho capita ma non riesco a capire cosa gli permetta di partire con $a + a*0$.
Avevo pensato che, volendo dimostrrare che $a*0=0$ per ogni numero reale $a$ lui parta proprio da $a$ da cui per l'esistenza dell'elemento neutro della somma abbiamo $a = a + 0$ e poichè vogliamo provare che $a*0 = 0$ allora sostituisce e si trova $a + a*0$.

Grazie

N.B. Magari si puo' dimostrare diversamente ma preferire un ragionamento simile a quello del libro tanto per avere una certa omogeneità per il momento.

[Celine2]

Sì, in realtà esistono differenti approcci anche se la sostanza non cambia. Il punto di partenza è dimostrare che $a*0=0$ e sfruttare questo risultato per dimostrare la legge di annullamento del prodotto. Un primo modo è quello da te esposto, in cui si prova che $a*0$ si comporta come l'elemento neutro (unico) e dedurre che $a*0=0$. Ti propongo un altro modo:

$a*0=a*0+a-a=(a*0+a)-a=a(0+1)-a=a*1-a=a-a=0$

[Archimede11]

Ok ho capito finalmente. Grazie ed a "presto"