Dimostrazione analitica di una derivata

[simox2]

Ciao a tutti,

Sto ripassando Analisi, e svolgendo il seguente esercizio, che mi son proposto da me:

Data la funzione

\(\displaystyle
f(x) = {5 \over ^3\sqrt{(x)^4}}
\)

Dimostrare che:

\(\displaystyle
{\mathrm{d}f(x) \over \mathrm{d} x} = -{20 \over 3} x^{-7/3}
\)

Procedo con lo svogimento:

\(\displaystyle
\begin{aligned}

& \lim_{\Delta x \to 0} \, {{5 \over ^3\sqrt{(x + \Delta x)^4}} - {5 \over ^3\sqrt{(x)^4}} \over \Delta x}\\
& \lim_{\Delta x \to 0} \, {{\left( \frac{5}{^3\sqrt{(x + \Delta x)^4}} - \frac{5}{^3\sqrt{(x)^4}} \right ) \cdot \left( \frac{5}{ ^3\sqrt{(x + \Delta x)^4} } + \frac{5}{^3\sqrt{(x)^4}} \right )} \over \Delta x \left( \frac{5}{ ^3\sqrt{(x + \Delta x)^4} } + \frac{5}{^3\sqrt{(x)^4}} \right )} \\
& \lim_{\Delta x \to 0} \, { 25 \left( \frac{1}{^3\sqrt{(x + \Delta x)^8}} - \frac{1}{^3\sqrt{(x)^8}} \right ) \over 5 \Delta x \left( \frac{1}{^3\sqrt{(x + \Delta x)^4} } + \frac{1}{^3\sqrt{(x)^4}} \right ) } \\
& \lim_{\Delta x \to 0} { 25 \left( \frac{^3\sqrt{(x)^8} - ^3\sqrt{(x + \Delta x)^8}}{^3\sqrt{(x + \Delta x)^8} \cdot ^3\sqrt{(x)^8}} \right )
\over 5 \Delta x \left( \frac{^3\sqrt{(x)^4} + ^3\sqrt{(x + \Delta x)^4}}{^3\sqrt{(x)^4} \cdot ^3\sqrt{(x + \Delta x)^4}} \right ) }
\end{aligned} \)

Ma arrivato a questo punto sono un pò ... bloccato.
Non vedo la strada per la soluzione.

Ringrazio in anticipo a chi mi darà una mano.

Ciao.

[dott.ing1]

$f(x)=5/(root(3)(x^4))=5x^(-4/3)$.

Limite del rapporto incrementale:
$lim_(h->0)frac{5(x+h)^(-4/3)-5x^(-4/3)}{h}=5lim_(h->0)frac{(x+h)^(-4/3)-x^(-4/3)}{h}$ [tex]\overset{H}{=}[/tex] $5lim_(h->0)frac{-4}{3(x+h)^(7/3)}=-20/3x^(-7/3)$.

[stormy1]

ma vista la tipologia dell'esercizio(calcolo della derivata mediante la definizione),non è lecito usare De L'Hopital

facciamo così :
$ lim_(h-> 0)((x+h)^(-4/3)-x^(-4/3))/h=lim_(h -> 0)((1+h/x)^(-4/3)-1)/(h/x^(-4/3))= $
$ =lim_(h -> 0)((1+h/x)^(-4/3)-1)/(h/x)x^(-7/3)=-4/3x^(-7/3) $

ricordando che $ lim_(z -> 0)((1+z)^alpha-1)/z=alpha $

[simox2]

Ciao dott.ing, ciao stormy,

Grazie mille per le vostre soluzioni. Vedo che mi sono proprio complicato la vita.

Meglio che continui a praticare.

Ciao !

Simo

[dissonance]

"simox2":Ciao a tutti,

Sto ripassando Analisi, e svolgendo il seguente esercizio, che mi son proposto da me:

Data la funzione

\(\displaystyle
f(x) = {5 \over ^3\sqrt{(x)^4}}
\)

Dimostrare che:

\(\displaystyle
{\mathrm{d}f(x) \over \mathrm{d} x} = -{20 \over 3} x^{-7/3}
\)

Procedo con lo svogimento:

\(\displaystyle
\begin{aligned}

& \lim_{\Delta x \to 0} \, {{5 \over ^3\sqrt{(x + \Delta x)^4}} - {5 \over ^3\sqrt{(x)^4}} \over \Delta x}\\
& \lim_{\Delta x \to 0} \, {{\left( \frac{5}{^3\sqrt{(x + \Delta x)^4}} - \frac{5}{^3\sqrt{(x)^4}} \right ) \cdot \left( \frac{5}{ ^3\sqrt{(x + \Delta x)^4} } + \frac{5}{^3\sqrt{(x)^4}} \right )} \over \Delta x \left( \frac{5}{ ^3\sqrt{(x + \Delta x)^4} } + \frac{5}{^3\sqrt{(x)^4}} \right )} \\
\end{aligned}[...]

Fai bene a proporti questi esercizi. Il tuo metodo è sostanzialmente algebrico, perché consiste nel razionalizzare. Non è sbagliato e in effetti funziona per calcolare la derivata di \(\frac{1}{\sqrt{x}}\), e probabilmente funziona anche per gli inversi degli altri "radicali aritmetici", con un po' di sforzo in più. A scanso di equivoci, qui per radicale aritmetico intendo la funzione
\[
f(x)=\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}, \qquad n\in \mathbb{N}.\]
Il problema è che l'algebra diventa velocemente molto complicata quando ci sono radici di ordine più alto di \(2\), che poi è il tuo caso. Il metodo analitico proposto da stormy evita questi problemi perché elimina la necessità di razionalizzare. Il risultato è molto elegante, ma naturalmente si paga un prezzo, ed è quello di usare il limite notevole binomiale
\[
\frac{ (1+h)^\alpha - 1}{h}\to\alpha, \qquad h\to 0, \]
che non è proprio banale da dimostrare, a meno che \(\alpha\) non sia intero, naturalmente.

Insomma, è un esercizio carino che fa ragionare un po' sull'interscambio tra algebra e analisi.

[simox2]

Grazie anche a te dissonance,

Ho deciso, per il momento, di allenarmi con esercizi forse meno macchinosi e progredire passo per passo.

Arriverà anche il mio momento, anche se forse non diventerò mai bravo come stormy e tanti altri.



Alla prossima.