Dimostrazione Analisi I

[Lorin1]

Vorrei sapere se qualcuno di voi mi potrebbe illustrare in modo non molto complicato il "criterio di continuità per le funzioni monotone"

Grazie

[maurer]

Intendi forse dire il criterio di regolarità? Cioè quello che assicura l'esistenza del limite per una funzione monotona?

[Lorin1]

Ehm non so se è proprio quello. Sul mio programma si chiama in quel modo, oppure alcuni lo indicano anche come Bolzano inverso

[gugo82]

Penso che Lorin intenda quello che di solito viene chiamato Inverso del teorema di Bolzano per le funzioni monotone.

Siano $I\subseteq RR$ un intervallo ed $f:I\to RR$.
Se $f$ è monotona in $I$ e $f(I)$ è un intervallo allora $f$ è continua in $I$.

[adaBTTLS1]

cercando in rete ho trovato questo:
http://www.science.unitn.it/~baldo/aa20 ... ode10.html
spero ti sia utile. ciao.

[maurer]

Ah, ok, adesso che leggo l'enunciato ho capito.
Per quanto mi ricordo io si fa per contrapposizione, cioè mostriamo che se $f$ non è continua in $I$ pur essendo monotona allora $f(I)$ non è un intervallo.
Supponiamo che $f$ non sia continua in $I$ e sia $x_0$ un punto di discontinuità interno all'intervallo $I$. Allora per il teorema di regolarità si ha che $\lim_{x \ to x_0^-}f(x)=l_(-) <=f(x_0)<=l_+=\lim_{x\to x_0^+}f(x)$. Dal momento che deve essere per la monotonia $f(x)<=l_(-) AAx\in I, x=l_+ AA x\in I, x>x_0$ e che deve essere $l_(-)\ne l_+$ (altrimenti $f$ sarebbe continua in $x_0$), allora segue che $f(I)$ non può essere un intervallo. Di qui segue la tesi.

E' chiara?

[Lorin1]

si grazie a tutti....ho risolto^^