Dimostrazione analisi, che non riesco a fare.
Sia $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ un aperto, $f \in L_{loc}^1(\Omega), z\in\Omega, d:=dist(z,\partial\Omega)$. Sia $\omega(x):=\chi_{B_1(0)}*c*exp(\frac{-1}{1-|x|^2})$ il mollificatore standard e $\omega_h(x):=h^{-n}\omega(\frac{x}{h})$ per $h>0$. Allora per $f_h(x):=\int_{\mathbb{R}^n}\omega_h(x-y)f(y)dy$ con $d>h>0$ si ha che:
1. $f_{h|_{B_{d-h}(z)}} \in C^{\infty}(B_{d-h}(z))$;
2. $\frac{\partial f_h}{\partial x_j}(x)=\int_{\Omega}\frac{\partial \omega_h}{\partial x_j}(x-y)f(y)$ per ogni $x \in B_{d-h}(z)$
Qualcuno saprebbe dirmi come procedere? Grazie...
1. $f_{h|_{B_{d-h}(z)}} \in C^{\infty}(B_{d-h}(z))$;
2. $\frac{\partial f_h}{\partial x_j}(x)=\int_{\Omega}\frac{\partial \omega_h}{\partial x_j}(x-y)f(y)$ per ogni $x \in B_{d-h}(z)$
Qualcuno saprebbe dirmi come procedere? Grazie...
Risposte
Mi servirebbe proprio l'input per partire...
la prima cosa da dimostrare è che la norma $\infty$ della funzione è finita, giusto? o devo dimostrare qualche altra cosa?
la prima cosa da dimostrare è che la norma $\infty$ della funzione è finita, giusto? o devo dimostrare qualche altra cosa?
"*missdreamer*":
Mi servirebbe proprio l'input per partire...
la prima cosa da dimostrare è che la norma $\infty$ della funzione è finita, giusto? o devo dimostrare qualche altra cosa?
Veramente ti si chiede di dimostrare che è possibile derivare sotto il segno d'integrale... la norma infinito della regolarizzata non ti interessa conoscerla (o almeno non è la prima cosa di cui devi preoccuparti, secondo me).
Secondo me potrebbe funzionare così. Scrivi esplicitamente il rapporto incrementale di $f_h$ nel punto $x$ per un incremento $Delta x_i$ piccolo e dimostra che puoi passare al limite per $Delta x_i to 0$ sotto al segno d'integrale ricavando la formula 2) con $B(x;d-h)$ al posto di $Omega$; per fare ciò potrebbe essere d'aiuto ricordare che il mollificatore d'ordine $h>0$ ha supporto compatto contenuto in $B(0;h)$.
Ricavata la formula esplicita per le derivate parziali, vedi che la differenziabilità della regolarizzata $f_h$ dipende dalla regolarità del mollificatore: visto che $omega_h in C^oo$ anche $f_h in C^oo$; infine la 2) si trova tenendo presente che l'integrale esteso ad $Omega$ può essere esteso al supporto di $omega_h$ senza cambiarne il risultato.
Provo a scrivere una dimostrazione senza usare il rapporto incrementale, per la prima parte... vediamo se ha un senso...
Io so che $s up p(\omega)\subsetB(0,1)$ in realtà della chiusura di $B(0,1)$ ma non so come scrivere in tex, diciamo che lo scriverò come $B'$.
Quindi $s up p(\omega_h)\subsetB'(0,h)$.
A questo punto posso scrivere che per definizione, (il mio obiettivo è dimostrare che posso applicare il teorema di derivazione sotto il segno dell'integrale)
$\int_{\mathbb{R}^n}\omega_h(x-y)f(y)dy=\int_{\Omega\capB'(x,h)}\omega_h(x-h)f(y)dy=\int_{\Omega\capB_{d-h}(z)}\omega_h(x-h)f(y)dy$ posso scrivere questo? mi sfugge... non riesco a dimostrare se è davvero vero, che fissato $z$ posso scrivere questo...
Comunque, supponendo sia vero, ho anche la funzione integranda è in $C^{\infty}$, quindi per quasi tutte le $y \in \Omega \cap B_{d-h}(z)$ ho che
$|\partial_x^{\alpha}(\omega_h(x-y)f(y)|<=s up _{(x,y)}|\partial_x^{\alpha}(\omega_h(x-y))||f(y)|<=C_{\alpha}|f(y)|$ dove $C_{\alpha}$ è una costante. Quindi le ipotesi del teorema sono verificate e ho la tesi numero 1.
Cosa ne pensate?
Io so che $s up p(\omega)\subsetB(0,1)$ in realtà della chiusura di $B(0,1)$ ma non so come scrivere in tex, diciamo che lo scriverò come $B'$.
Quindi $s up p(\omega_h)\subsetB'(0,h)$.
A questo punto posso scrivere che per definizione, (il mio obiettivo è dimostrare che posso applicare il teorema di derivazione sotto il segno dell'integrale)
$\int_{\mathbb{R}^n}\omega_h(x-y)f(y)dy=\int_{\Omega\capB'(x,h)}\omega_h(x-h)f(y)dy=\int_{\Omega\capB_{d-h}(z)}\omega_h(x-h)f(y)dy$ posso scrivere questo? mi sfugge... non riesco a dimostrare se è davvero vero, che fissato $z$ posso scrivere questo...
Comunque, supponendo sia vero, ho anche la funzione integranda è in $C^{\infty}$, quindi per quasi tutte le $y \in \Omega \cap B_{d-h}(z)$ ho che
$|\partial_x^{\alpha}(\omega_h(x-y)f(y)|<=s up _{(x,y)}|\partial_x^{\alpha}(\omega_h(x-y))||f(y)|<=C_{\alpha}|f(y)|$ dove $C_{\alpha}$ è una costante. Quindi le ipotesi del teorema sono verificate e ho la tesi numero 1.
Cosa ne pensate?
"*missdreamer*":
...chiusura di $B(0,1)$ ma non so come scrivere in tex ...
scrivi \bar{B} e ottieni $\bar{B}$. Per quanto riguarda il tuo problema non so neanche da dove cominciare però
...ciao
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