Dimostrazione analisi
Sia C una curva piana regolare e sia
$S := C \times [a , b] = {(x, y, z) | (x, y) in C, z in [a, b]}$:
Dimostrare che $m_2(S) = (b - a)m_1(C)$
dove con $m_n$ si indica la misura n-dimensionale secondo Riemann..
allora:
$m_2(S):=int_S 1$...devo arrivare a (almeno credo)...
non saprei che cosa sfruttare (intuitivamente il concetto da dimostrare e' banalissimo)..
potrei dire che se S e' misurabile secondo Riemann, allora $z$ e' integrabile su C, e in particolare $int_a^b(int_C 1) z dz=m_2(S)$
ma z e' scrivibile come $phi_C z$ dove $phi_C$ e' la funzione caratteristica di C
quindi
$int_C 1=int_(RR^2)phi_C$
percio'..
$m_2(S):=int_S 1=int_C z=int_a^b(int_(RR^2)phi_C1) z dz=int_a^bm_1(C) z dz=m_1(C) (b-a)$
i passaggi mi sembrano molto macchinosi..
non so se sia rigorosa.. parliamone..
$S := C \times [a , b] = {(x, y, z) | (x, y) in C, z in [a, b]}$:
Dimostrare che $m_2(S) = (b - a)m_1(C)$
dove con $m_n$ si indica la misura n-dimensionale secondo Riemann..
allora:
$m_2(S):=int_S 1$...devo arrivare a (almeno credo)...
non saprei che cosa sfruttare (intuitivamente il concetto da dimostrare e' banalissimo)..
potrei dire che se S e' misurabile secondo Riemann, allora $z$ e' integrabile su C, e in particolare $int_a^b(int_C 1) z dz=m_2(S)$
ma z e' scrivibile come $phi_C z$ dove $phi_C$ e' la funzione caratteristica di C
quindi
$int_C 1=int_(RR^2)phi_C$
percio'..
$m_2(S):=int_S 1=int_C z=int_a^b(int_(RR^2)phi_C1) z dz=int_a^bm_1(C) z dz=m_1(C) (b-a)$
i passaggi mi sembrano molto macchinosi..
non so se sia rigorosa.. parliamone..
Risposte
Se vuoi procedere in modo un po' più standard, chiama $alpha(t)$ una r.p. regolare di $C$ su un intervallo $I$ (ad esempio, puoi prendere una r.p. in base all'ascissa curvilinea) e costruisci una r.p. regolare $X(t,v)$ di $S$ su $U:=I\times [a,b]$; $S$ è un cilindro, quindi non dovrebbe essere difficile.
Una volta fatto ciò, ricorda che l'area di $S$ è data da:
$\int_S "d"sigma=\int_U |\nu(t,v)| " d"t" d"v$
e mostra che puoi applicare le formule di riduzione dell'integrale doppio per mettere l'ultimo membro della precedente nella forma $\int_a^b \mathcal{L}(C) " d"v$ (qui $\mathcal{L}(C)<+oo$ denota la lungezza di $C$; se $\mathcal{L}(C)=+oo$ devi ritagliarti delle parti di misura finita $C_n$ su $C$ in modo che $lim_n \mathcal{L}(C_n)=\mathcal{L}(C)$ e poi passare al limite in qualche modo per concludere).
Fatto ciò hai praticamente finito.
Sulla misurabilità di $S$ puoi dire certamente qualcosa, giacché $S$ ha misura $3$-dimensionale nulla (ciò non è difficile da provare, basta sfruttare un po' la compattezza di $C$ o delle sue parti limitate, nel caso $C$ non sia limitata).
Una volta fatto ciò, ricorda che l'area di $S$ è data da:
$\int_S "d"sigma=\int_U |\nu(t,v)| " d"t" d"v$
e mostra che puoi applicare le formule di riduzione dell'integrale doppio per mettere l'ultimo membro della precedente nella forma $\int_a^b \mathcal{L}(C) " d"v$ (qui $\mathcal{L}(C)<+oo$ denota la lungezza di $C$; se $\mathcal{L}(C)=+oo$ devi ritagliarti delle parti di misura finita $C_n$ su $C$ in modo che $lim_n \mathcal{L}(C_n)=\mathcal{L}(C)$ e poi passare al limite in qualche modo per concludere).
Fatto ciò hai praticamente finito.
Sulla misurabilità di $S$ puoi dire certamente qualcosa, giacché $S$ ha misura $3$-dimensionale nulla (ciò non è difficile da provare, basta sfruttare un po' la compattezza di $C$ o delle sue parti limitate, nel caso $C$ non sia limitata).
r.p. e' un parametrizzazione regolare??
S non puo' essere un cilindro per quanto ne so io, in quanto la regolarita' della C implica la semplicita' e quindi la derivata della curva deve essere limitata e sempre diversa da 0, quindi C non puo' essere un cerchio.
S non puo' essere un cilindro per quanto ne so io, in quanto la regolarita' della C implica la semplicita' e quindi la derivata della curva deve essere limitata e sempre diversa da 0, quindi C non puo' essere un cerchio.
"mashiro":
r.p. e' un parametrizzazione regolare??
Sisi, non so perchè ma mi è uscita in English.
"mashiro":
S non puo' essere un cilindro per quanto ne so io, in quanto la regolarita' della C implica la semplicita' e quindi la derivata della curva deve essere limitata e sempre diversa da 0, quindi C non puo' essere un cerchio.
Di solito si chiama superficie cilindrica (o cilindro) un qualunque oggetto composto da rette tutte parallele che passano per un'assegnata curva di $RR^3$ (mai sentito parlare di cilindro ellittico, iperbolico o parabolico?).
Questo è il tuo caso, quindi $S$ è una porzione di cilindro.
Che poi non sia un cilindro circolare retto, tipo quelli della Geometria Elementare, è un'altra questione...
bellissimo, non avevo colto la finezza, non te la prendere
un'altra cosa.. quando scrivi:
chi e' $\nu(t,v)$??
"Gugo82":
... e costruisci una r.p. regolare $X(t,v)$ di $S$ su $U:=I\times [a,b]$; $S$ è un cilindro, quindi non dovrebbe essere difficile.
Una volta fatto ciò, ricorda che l'area di $S$ è data da:
$\int_S "d"sigma=\int_U |\nu(t,v)| " d"t" d"v$
chi e' $\nu(t,v)$??
Il vettore normale ad $S$ indotto dalla r.p. $X(t,v)$.
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