Dimostrazione analisi 2 derivabilità
dovre dimostrare il seguente fatto:
Sia \(\displaystyle A \subseteq R^n \) un insieme aperto.
Sia \(\displaystyle f : A \rightarrow R\) una funzione.
Sia \(\displaystyle x \in A \) e r > 0 un numero positivo tale che \(\displaystyle B(x, r) \subset A \).
Dato un vettore unitario \(\displaystyle v \in S^(n-1) \), si consideri la funzione:
\(\displaystyle \varphi : (-r, r) \rightarrow R \), \(\displaystyle \varphi (t) = x + tv \), \(\displaystyle |t|
Si supponga che \(\displaystyle \varphi \) sia derivabile nel punto t = 0.
Si dimostri che f è derivabile nel punto x nella direzione v.
__________________________________________________________
Adesso se \(\displaystyle \varphi \) è derivabile in t = 0, deve esistere il limite
\(\displaystyle \lim_{h \to 0} (1/h) [f(t+hv) - f(t)] \)
t = 0, quindi
\(\displaystyle \lim_{h \to 0} (1/h) [f(hv) - f(0)] \)
se f è derivabile, deve esistere il limite:
\(\displaystyle \lim_{h \to 0} (1/h) [f(x+hv) - f(x)] \)
Ma come faccio a mettere in relazione il limite di f con il limite di \(\displaystyle \varphi \) in t=0 ?
Sia \(\displaystyle A \subseteq R^n \) un insieme aperto.
Sia \(\displaystyle f : A \rightarrow R\) una funzione.
Sia \(\displaystyle x \in A \) e r > 0 un numero positivo tale che \(\displaystyle B(x, r) \subset A \).
Dato un vettore unitario \(\displaystyle v \in S^(n-1) \), si consideri la funzione:
\(\displaystyle \varphi : (-r, r) \rightarrow R \), \(\displaystyle \varphi (t) = x + tv \), \(\displaystyle |t|
Si supponga che \(\displaystyle \varphi \) sia derivabile nel punto t = 0.
Si dimostri che f è derivabile nel punto x nella direzione v.
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Adesso se \(\displaystyle \varphi \) è derivabile in t = 0, deve esistere il limite
\(\displaystyle \lim_{h \to 0} (1/h) [f(t+hv) - f(t)] \)
t = 0, quindi
\(\displaystyle \lim_{h \to 0} (1/h) [f(hv) - f(0)] \)
se f è derivabile, deve esistere il limite:
\(\displaystyle \lim_{h \to 0} (1/h) [f(x+hv) - f(x)] \)
Ma come faccio a mettere in relazione il limite di f con il limite di \(\displaystyle \varphi \) in t=0 ?
Risposte
Non ho capito cosa siano i primi due limiti che hai scritto: la derivabilità di $\varphi$ in $t=0$ si scrive
$\lim_{h\to 0} {\varphi(0+h)-\varphi(0)}/h=\lim_{h\to 0} {x+hv-x}/h=v$
Nell'ultima cosa che hai scritto (la definizione di derivata direzionale della $f$) puoi porre $\varphi(h)=x+hv,\ \varphi(0)=x$ da cui
$\lim_{h\to 0} {f(\varphi(h))-f(\varphi(0))}/{h}=\lim_{h\to 0} {f(\varphi(h))-f(\varphi(0))}/{\varphi(h)-\varphi(0)}\cdot {\varphi(h)-\varphi(0)}/{h}$
Ora però, a meno di non avere qualche altra proprietà della $f$ non mi pare tu possa affermare che esista la derivata (il problema sta tutto nel calcolo del primo limite, visto che il secondo termine per ipotesi vale $\varphi'(0)$).
$\lim_{h\to 0} {\varphi(0+h)-\varphi(0)}/h=\lim_{h\to 0} {x+hv-x}/h=v$
Nell'ultima cosa che hai scritto (la definizione di derivata direzionale della $f$) puoi porre $\varphi(h)=x+hv,\ \varphi(0)=x$ da cui
$\lim_{h\to 0} {f(\varphi(h))-f(\varphi(0))}/{h}=\lim_{h\to 0} {f(\varphi(h))-f(\varphi(0))}/{\varphi(h)-\varphi(0)}\cdot {\varphi(h)-\varphi(0)}/{h}$
Ora però, a meno di non avere qualche altra proprietà della $f$ non mi pare tu possa affermare che esista la derivata (il problema sta tutto nel calcolo del primo limite, visto che il secondo termine per ipotesi vale $\varphi'(0)$).
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