Dimostrazione Accelerazione di Lagrange
Salve, sto studiando la meccanica dei fluidi, in particolare la cinematica.
Ad un certo punto della trattazione, viene riportata un'identità vettoriale che è la seguente:
$u*\nablau=1/2 \nablau^2 + w^^u$ , con $w=\nabla^^u$ definizione di vorticità.
Non riesco a dimostrare l'uguaglianza. Sono certo che parte della mia difficoltà sia dovuta alla mancanza di basi in termini di calcolo tensoriale, immaginando appunto che il prodotto a primo membro sia un prodotto diadico.
Ringrazio anticipatamente chi vorrà aiutarmi, nella speranza di aver scelto la sezione giusta.
Ad un certo punto della trattazione, viene riportata un'identità vettoriale che è la seguente:
$u*\nablau=1/2 \nablau^2 + w^^u$ , con $w=\nabla^^u$ definizione di vorticità.
Non riesco a dimostrare l'uguaglianza. Sono certo che parte della mia difficoltà sia dovuta alla mancanza di basi in termini di calcolo tensoriale, immaginando appunto che il prodotto a primo membro sia un prodotto diadico.
Ringrazio anticipatamente chi vorrà aiutarmi, nella speranza di aver scelto la sezione giusta.
Risposte
Controlla i conti, che l'identità viene.
Infatti, se \(\nabla \land\) è il rotore del campo \(\mathbf{u}=u^1 \mathbf{i} + u^2 \mathbf{j} + u^3 \mathbf{k}\) e \(\nabla \mathbf{u}\) è il gradiente, scrivendo tutto in coordinate e denotando con i pedici le derivazioni parziali hai:
\[
\begin{split}
\mathbf{u}\cdot \nabla \mathbf{u} &= (u^1 \mathbf{i} + u^2 \mathbf{j} + u^3 \mathbf{k})\cdot \begin{pmatrix} u_x^1 & u_x^2 & u_x^3\\
u_y^1 & u_y^2 & u_y^3\\
u_z^1 & u_z^2 & u_z^3\end{pmatrix}\\
&= (u_1 u_x^1 + u_2 u_y^1 + u_3 u_z^1)\ \mathbf{i} + (u_1 u_x^2 + u_2 u_y^2 + u_3 u_z^2)\ \mathbf{j} + (u_1 u_x^3 + u_2 u_y^3 + u_3 u_z^3)\ \mathbf{k}\\
\nabla \land \mathbf{u} &= (u_z^2 - u_y^3)\ \mathbf{i} + (u_x^3 - u_z^1)\ \mathbf{j} + (u_y^1 - u_x^2)\ \mathbf{k}\\
\frac{1}{2}\ \nabla \mathbf{u}^2 &= \frac{1}{2}\ \nabla \langle \mathbf{u},\mathbf{u}\rangle\\
&= \nabla \mathbf{u}\cdot \mathbf{u}\\
&= (u_1 u_x^1 + u_2 u_x^2 + u_3 u_x^3)\ \mathbf{i} + (u_1 u_y^1 + u_2 u_y^2 + u_3 u_y^3)\ \mathbf{j} + (u_1 u_z^1 + u_2 u_z^2 + u_3 u_z^3)\ \mathbf{k}
\end{split}
\]
ed a questo punto verificare che l'identità vale svolgendo esplicitamente il prodotto \((\nabla \land \mathbf{u})\land \mathbf{u}\) e facendo le somme.
Infatti, se \(\nabla \land\) è il rotore del campo \(\mathbf{u}=u^1 \mathbf{i} + u^2 \mathbf{j} + u^3 \mathbf{k}\) e \(\nabla \mathbf{u}\) è il gradiente, scrivendo tutto in coordinate e denotando con i pedici le derivazioni parziali hai:
\[
\begin{split}
\mathbf{u}\cdot \nabla \mathbf{u} &= (u^1 \mathbf{i} + u^2 \mathbf{j} + u^3 \mathbf{k})\cdot \begin{pmatrix} u_x^1 & u_x^2 & u_x^3\\
u_y^1 & u_y^2 & u_y^3\\
u_z^1 & u_z^2 & u_z^3\end{pmatrix}\\
&= (u_1 u_x^1 + u_2 u_y^1 + u_3 u_z^1)\ \mathbf{i} + (u_1 u_x^2 + u_2 u_y^2 + u_3 u_z^2)\ \mathbf{j} + (u_1 u_x^3 + u_2 u_y^3 + u_3 u_z^3)\ \mathbf{k}\\
\nabla \land \mathbf{u} &= (u_z^2 - u_y^3)\ \mathbf{i} + (u_x^3 - u_z^1)\ \mathbf{j} + (u_y^1 - u_x^2)\ \mathbf{k}\\
\frac{1}{2}\ \nabla \mathbf{u}^2 &= \frac{1}{2}\ \nabla \langle \mathbf{u},\mathbf{u}\rangle\\
&= \nabla \mathbf{u}\cdot \mathbf{u}\\
&= (u_1 u_x^1 + u_2 u_x^2 + u_3 u_x^3)\ \mathbf{i} + (u_1 u_y^1 + u_2 u_y^2 + u_3 u_y^3)\ \mathbf{j} + (u_1 u_z^1 + u_2 u_z^2 + u_3 u_z^3)\ \mathbf{k}
\end{split}
\]
ed a questo punto verificare che l'identità vale svolgendo esplicitamente il prodotto \((\nabla \land \mathbf{u})\land \mathbf{u}\) e facendo le somme.
Ciao! Non ho capito questo passaggio:
$\frac{1}{2}\ \nabla \langle \mathbf{u},\mathbf{u}\rangle\ = \nabla \mathbf{u}\cdot \mathbf{u}$
$\frac{1}{2}\ \nabla \langle \mathbf{u},\mathbf{u}\rangle\ = \nabla \mathbf{u}\cdot \mathbf{u}$
Il membro destro è un prodotto matrice x vettore. In coordinate hai che
\[
\frac{1}{2} \partial_j \left( \sum_i u^i u_i \right)= \frac{1}{2}\left(\sum_i (\partial_j u^i)u_i + \sum_i u^i\partial_j u_i\right) = \sum_i (\partial_j u^i)u_i.\]
P.S.: In questo post i pedici NON denotano derivazioni parziali ma sono indici come gli altri.
\[
\frac{1}{2} \partial_j \left( \sum_i u^i u_i \right)= \frac{1}{2}\left(\sum_i (\partial_j u^i)u_i + \sum_i u^i\partial_j u_i\right) = \sum_i (\partial_j u^i)u_i.\]
P.S.: In questo post i pedici NON denotano derivazioni parziali ma sono indici come gli altri.
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