Dimostrazione
Ciao a tutti e buon anno!
Sto cercando di imparare come dimostrare i teoremi e mi servirebbe un vostro parere riguardo il ragionamento per la dimostrazione di un teorema sulle successioni.
Se ho capito bene, una proposizione del tipo $ ipotesi rArr tesi $ , è falsa solo quando le tesi sono false e le ipotesi sono vere, mentre è vera in tutti gli altri casi.
Il teorema che ho dimostrato è il teorema delle successioni che dice che:
"$"Sia "a_n" una successione infinita a valori in R.
Allora se ("a_n" è convergente) "rArr" ("a_n" è limitata)."$
Dimostrazione diretta:
per ipotesi $a_n$ converge, perciò $ AA e>0, EE hat n in NN, n>hat n, |a_n - l|
$|a_n|=|a_n -l +l|<= |a_n - l| + |l| <= e+ |l|$ ,
quindi "a_n" sarà minore di
$a_n <= max { |a_i| (i=1,2,3,... ) , e+|l|}=M in RR$
quindi esiste un numero reale che contiene tutti i termini della succ.
Fino a qui ci sono! Ora ho bisogno di sperimentare altri tipi di dimostrazione!
Dimostrazione indiretta:
Per Assurdo: suppongo che la tesi sia falsa ed arrivo ad una contraddizione con le ipotesi.
$a_n$ illimitata : $AA m in RR, a_n>M$
Allora $ AA M>0,EE hat n in NN , n>hat n , a_n>M$ cioé la successione diverge contro le ipotesi iniziali.
(Va bene?)
Suppongo ora che la tesi sia vera, e cerco di arrivare alle ipotesi.
Se la tesi è vera, $EE M in RR,|a_n|
Ora prendo $k=|max(|a_i| (i=1.2...))-l|$
con $l in RR$ punto di accumulazione (la succ è infinita ed esiste almeno un punto di accumulazione per il Teorema di Bolzano) .
Chiamo max il massimo degli elementi di $a_n$.
Ho che $ |a_n|<=|max - l|=k
scrivo $-M < -k<=|a_n-l|<= |max-l|<=k< M $ Da qua si vede il fatto della convergenza
(Questa dimostrazione l'ho fatta ora.. non mi pare corretta al 100%.. avete qualche suggerimento?)
Un modo sicuramente più efficace è usare il teorema di Bolzano-Weierstrass:
da ogni succ limitata si possono estrarre successioni convergenti al punto $l in RR$
(Così può andare? è sufficiente?)
Grazie in anticipo
Sto cercando di imparare come dimostrare i teoremi e mi servirebbe un vostro parere riguardo il ragionamento per la dimostrazione di un teorema sulle successioni.
Se ho capito bene, una proposizione del tipo $ ipotesi rArr tesi $ , è falsa solo quando le tesi sono false e le ipotesi sono vere, mentre è vera in tutti gli altri casi.
Il teorema che ho dimostrato è il teorema delle successioni che dice che:
"$"Sia "a_n" una successione infinita a valori in R.
Allora se ("a_n" è convergente) "rArr" ("a_n" è limitata)."$
Dimostrazione diretta:
per ipotesi $a_n$ converge, perciò $ AA e>0, EE hat n in NN, n>hat n, |a_n - l|
$|a_n|=|a_n -l +l|<= |a_n - l| + |l| <= e+ |l|$ ,
quindi "a_n" sarà minore di
$a_n <= max { |a_i| (i=1,2,3,... ) , e+|l|}=M in RR$
quindi esiste un numero reale che contiene tutti i termini della succ.
Fino a qui ci sono! Ora ho bisogno di sperimentare altri tipi di dimostrazione!
Dimostrazione indiretta:
Per Assurdo: suppongo che la tesi sia falsa ed arrivo ad una contraddizione con le ipotesi.
$a_n$ illimitata : $AA m in RR, a_n>M$
Allora $ AA M>0,EE hat n in NN , n>hat n , a_n>M$ cioé la successione diverge contro le ipotesi iniziali.
(Va bene?)
Suppongo ora che la tesi sia vera, e cerco di arrivare alle ipotesi.
Se la tesi è vera, $EE M in RR,|a_n|
con $l in RR$ punto di accumulazione (la succ è infinita ed esiste almeno un punto di accumulazione per il Teorema di Bolzano) .
Chiamo max il massimo degli elementi di $a_n$.
Ho che $ |a_n|<=|max - l|=k
(Questa dimostrazione l'ho fatta ora.. non mi pare corretta al 100%.. avete qualche suggerimento?)
Un modo sicuramente più efficace è usare il teorema di Bolzano-Weierstrass:
da ogni succ limitata si possono estrarre successioni convergenti al punto $l in RR$
(Così può andare? è sufficiente?)
Grazie in anticipo

Risposte
"MrMeaccia":
Suppongo ora che la tesi sia vera, e cerco di arrivare alle ipotesi.
Non capisco perché procedi oltre in questo modo...
EDIT: Anche perché ciò che vuoi dimostrare è falso. Pensa alla successione $a_n = sin(pi/4 * n)$.
"MrMeaccia":
Se ho capito bene, una proposizione del tipo $ ipotesi rArr tesi $ , è falsa solo quando le tesi sono false e le ipotesi sono vere, mentre è vera in tutti gli altri casi.
Non ho letto il seguito, ma questa frase non è chiara e potrebbe essere sbagliata. La cosa torna se c'è UNA ipotesi e UNA tesi - è corretto dire che l'implicazione è falsa se l'ipotesi è vera e la tesi è falsa.
Dato però che usi il plurale presumo tu abbia in mente una cosa del tipo (ipotesi1$\wedge$...$\wedge$ ipotesiN)$=>$(tesi1$\wedge$...$\wedge$ tesiK). Se è così l'implicazione è falsa se TUTTE le ipotesi sono vere e UNA tesi è falsa.
Non so se questo c'entra con il seguito...
Ciao Seneca! Grazie mille per la risposta!
Il mio obiettivo era dimostrare il teorema usando "tutte le strade a disposizione".
Ma ha senso dimostrare il teorema in questa direzione? (mi spiego meglio: ha senso dimostrare il teorema assumendo vera la tesi e, attraverso dei passaggi, ottenere l'ipotesi?)
Tu mi hai fatto notare che la successione $a_n$ non ha limite, pur essendo limitata $(-1,1)$.
...
Mentre cercavo di spiegarti la mia idea, ho capito un mio errore di ragionamento: Il teorema di Bolzano-W. dice solo che si può estrarre una sotto successione convergente da una successione limitata.. ma questo non ha nulla anche vedere con il fatto che la successione iniziale sia convergente!
Quindi, mi rispondo da solo, non ha senso dimostrare il teorema in questa "direzione"!
grazie mille!
Le altre dimostrazioni sono buone?
Il mio obiettivo era dimostrare il teorema usando "tutte le strade a disposizione".
Ma ha senso dimostrare il teorema in questa direzione? (mi spiego meglio: ha senso dimostrare il teorema assumendo vera la tesi e, attraverso dei passaggi, ottenere l'ipotesi?)
Tu mi hai fatto notare che la successione $a_n$ non ha limite, pur essendo limitata $(-1,1)$.
...
Mentre cercavo di spiegarti la mia idea, ho capito un mio errore di ragionamento: Il teorema di Bolzano-W. dice solo che si può estrarre una sotto successione convergente da una successione limitata.. ma questo non ha nulla anche vedere con il fatto che la successione iniziale sia convergente!
Quindi, mi rispondo da solo, non ha senso dimostrare il teorema in questa "direzione"!
grazie mille!

Le altre dimostrazioni sono buone?
Ciao ViciousGoblin! Grazie di esserti interessato
In effetti ho usato il plurale, ma nella dimostrazione ci sono solo una ipotesi ed una tesi!
Comunque hai ragione, avrei fatto meglio ad essere più chiaro!

In effetti ho usato il plurale, ma nella dimostrazione ci sono solo una ipotesi ed una tesi!
Comunque hai ragione, avrei fatto meglio ad essere più chiaro!
Non è che "non ha senso dimostrare il teorema in quella direzione". Quella implicazione che cercavi di provare è proprio falsa!
La seconda non va bene. Una successione $a_n$ è illimitata (superiormente) se $AA M > 0$, $EE n_0 in NN$ tale che $a_(n_0) > M$.
Ma questa non è la definizione di $lim_(n -> +oo) a_n = +oo$ , stai attento. Dire che è illimitata significa dire che, comunque scegli una costante positiva $M$ (sia pure arbitrariamente grande), la successione, per un certo indice $n_0$, risulta $> M$. Può anche non avere limite:
Vedi qui, ad esempio.
Devi aggiustare qualcosina.
"MrMeaccia":
Le altre dimostrazioni sono buone?
La seconda non va bene. Una successione $a_n$ è illimitata (superiormente) se $AA M > 0$, $EE n_0 in NN$ tale che $a_(n_0) > M$.
Ma questa non è la definizione di $lim_(n -> +oo) a_n = +oo$ , stai attento. Dire che è illimitata significa dire che, comunque scegli una costante positiva $M$ (sia pure arbitrariamente grande), la successione, per un certo indice $n_0$, risulta $> M$. Può anche non avere limite:
Vedi qui, ad esempio.
Devi aggiustare qualcosina.
Mi sa che non ho capito il mio errore.. visto che sono stato impreciso nello scrivere le cose
(se hai la pazienza di rileggerle ancora una volta), provo a riscrivere qua la dimostrazione:
$a_n$ è illimitata per ipotesi , allora $"sup "a_n = +oo$ (questa è la definizione di successione illimitata che conosco, e che ho dimenticato di scrivere prima)
e quindi $AA M in RR, M>0, EE n_0 in NN , n>n_0, a_n>M$
che è la definizione di successione divergente. Otteniamo una contraddizione con le ipotesi iniziali.
Ho visto il link e ho provato a pensare come considerare questo caso:
$"sup "n^2 |sin(n)| =+oo$
Il limite non esiste perché due successioni estratte hanno limiti diversi
(es $ a_k = n^2 |sin (2n*pi)|, a_h = n^2 |sin (2n pi + pi /2)|$ )
Questo fatto è comunque in contraddizione con le ipotesi iniziali, quindi il teorema è provato per assurdo.
Così va meglio?
Grazie mille Seneca
(se hai la pazienza di rileggerle ancora una volta), provo a riscrivere qua la dimostrazione:
$a_n$ è illimitata per ipotesi , allora $"sup "a_n = +oo$ (questa è la definizione di successione illimitata che conosco, e che ho dimenticato di scrivere prima)
e quindi $AA M in RR, M>0, EE n_0 in NN , n>n_0, a_n>M$
che è la definizione di successione divergente. Otteniamo una contraddizione con le ipotesi iniziali.
"Seneca":
Può anche non avere limite
Ho visto il link e ho provato a pensare come considerare questo caso:
$"sup "n^2 |sin(n)| =+oo$
Il limite non esiste perché due successioni estratte hanno limiti diversi
(es $ a_k = n^2 |sin (2n*pi)|, a_h = n^2 |sin (2n pi + pi /2)|$ )
Questo fatto è comunque in contraddizione con le ipotesi iniziali, quindi il teorema è provato per assurdo.
Così va meglio?
Grazie mille Seneca

"MrMeaccia":
$a_n$ è illimitata per ipotesi , allora $"sup "a_n = +oo$ (questa è la definizione di successione illimitata che conosco, e che ho dimenticato di scrivere prima)
e quindi $AA M in RR, M>0, EE n_0 in NN , n>n_0, a_n>M$
che è la definizione di successione divergente. Otteniamo una contraddizione con le ipotesi iniziali.
Ma no, niente "e quindi"... Tu stai dicendo ora che se una successione è superiormente illimitata allora è divergente (che è errato, appunto! Vedi il controesempio che ti ho dato).
Non hai la garanzia che $AA n > n_0$ si abbia che $a_n > M$ (la successione potrebbe, oscillando, ritornare "sotto" $M$).
Non ti nascondo che sono un po' in difficoltà!
Speravo che la cena portasse consigli migliori..
Non credo che vada bene, ma non mi viene in mente nient' altro: provo a essere più chiaro, usando però sempre gli stessi ragionamenti!
$a_n$ è illimitata.
Allora
i) se è vero che $AAn in NN , n> n_0 " e "AA M in RR, a_n >M $ , la successione diverge a $+oo$
ii) se $AA M in RR, a_n>M $ solo per alcuni $n>n_0$ , la successione è indeterminata
in ognuno dei due casi, la successione non converge.
Va meglio così? ..non mi viene in mente nient'altro di sensato!
p.s. : grazie per la pazienza Seneca
Speravo che la cena portasse consigli migliori..
Non credo che vada bene, ma non mi viene in mente nient' altro: provo a essere più chiaro, usando però sempre gli stessi ragionamenti!
$a_n$ è illimitata.
Allora
i) se è vero che $AAn in NN , n> n_0 " e "AA M in RR, a_n >M $ , la successione diverge a $+oo$
ii) se $AA M in RR, a_n>M $ solo per alcuni $n>n_0$ , la successione è indeterminata
in ognuno dei due casi, la successione non converge.
Va meglio così? ..non mi viene in mente nient'altro di sensato!
p.s. : grazie per la pazienza Seneca

E' molto confuso... Io farei così:
Supponiamo che $a_n$ sia convergente.
Se $a_n$ è illimitata allora $AA M > 0, EE n_0$ tale che $a_(n_0) > M$.
Quindi per $M = 1$ , $EE n_1 : a_(n_1) > 1$,
per $M = 2$ , $EE n_2 : a_(n_2) > 2$, e così via...
Per induzione, preso $M = k$ , $EE n_k : a_(n_k) > k$.
La sottosuccessione $a_(n_k)$ così costruita è divergente per $k -> +oo$ e questo è un assurdo. Da una successione convergente non puoi estrarre una sottosuccessione divergente.
Supponiamo che $a_n$ sia convergente.
Se $a_n$ è illimitata allora $AA M > 0, EE n_0$ tale che $a_(n_0) > M$.
Quindi per $M = 1$ , $EE n_1 : a_(n_1) > 1$,
per $M = 2$ , $EE n_2 : a_(n_2) > 2$, e così via...
Per induzione, preso $M = k$ , $EE n_k : a_(n_k) > k$.
La sottosuccessione $a_(n_k)$ così costruita è divergente per $k -> +oo$ e questo è un assurdo. Da una successione convergente non puoi estrarre una sottosuccessione divergente.
Grazie Seneca.. purtroppo nei ragionamenti non sono per niente "elastico"! Mi ero intestardito a voler procedere usando come ipotesi solo il fatto che la successione fosse illimitata, arrivando alla conclusione che non potesse essere convergente!
La sottosuccessione che hai costruito ha qualcosa a che vedere con il limite superiore si una successione?
Grazie mille Seneca!
La sottosuccessione che hai costruito ha qualcosa a che vedere con il limite superiore si una successione?
Grazie mille Seneca!

"MrMeaccia":
Grazie Seneca.. purtroppo nei ragionamenti non sono per niente "elastico"! Mi ero intestardito a voler procedere usando come ipotesi solo il fatto che la successione fosse illimitata, arrivando alla conclusione che non potesse essere convergente!
Ma io infatti ho definito la sottosuccessione sfruttando la definizione di successione illimitata.

La sottosuccessione che hai costruito ha qualcosa a che vedere con il limite superiore si una successione?
Sì, ma l'assurdo deriva dal fatto che da una successione convergente (e la nostra lo è per ipotesi) non si può estrarre alcuna sottosuccessione divergente.
Prova a dimostrare che se $a_n : NN -> RR$ è una successione reale convergente, allora ogni sottosuccessione $a_(n_k)$ è convergente.
Mi intrometto anch'io (per ripetere in modo complicato quello che dice seneca
)
Si voleva dimostrare che
(1) $a_n$ ammette limite finito
IMPLICA
(2) $a_n$ è limitata
e lo si vuole fare "per assurdo" mostrando che
se (2) è falsa allora (1) è falsa
Il problema di MrMeaccia mi sembra nell' esplicitare la falsità di (1) e (2) - cosa non immediata in effetti. Per farlo dobbiamo scrivere cosa significano (1) o (2) e negarle. Cominciamo dalla seconda:
(2) esiste una costante $M$ tale che per ogni $n$ si ha $|a_n|\le M$
La sua negazione è allora:
(2*) per ogni costante $M$ esiste un intero $n$ tale che $|a_n|>M$.
Da (2*), scegliendo $M=k$ intero si deduce
(2**) esiste una successione di interi $n_k$ tale che $\lim_{k\to+\infty}|a_{n_k}|=+\infty$
(a parole "esiste una successione estratta da $|a_n|$ che diverge").
A questo punto dovremmo negare la (1) ma questo è piuttosto complicato (possiamo riparlarne) e in realtà conviene passare per un'altra proprietà:
(3) ogni successione estratta di $a_n$ ammette limite finito.
E' noto (e lo diamo per buono) che (1) implica (3). DUNQUE (3) falsa implica (1) falsa e quindi se dimostriamo che
(2) falsa implica (3) falsa siamo a posto. Cosa vuol dire (3) falsa ? Negando (3) si trova:
(3*) esiste una successione estratta da $a_n$ che non ammette limite finito.
Possiamo allora dire che (2*) IMPLICA (3*) ?? (e quindi che (2*) IMPLICA (1*) come volevamo?). Come detto da (2*) otteniamo (2**) cioè l'esistenza di una successione estratta $a_{n_k}$ tale che $|a_{n_k}|\to+\infty$. Tale successione NON PUO' AVERE limite finito dato che, se $a_{n_k}\to l\in RR$ allora $|a_{n_k}|\to |l|\in RR$ mentre $|a_{n_k}|\to+\infty$.
Quindi la (2**) ci dà un'estratta che non ha limite finito e cioè (3*).
Riassumendo (2*)=>(2**)=>(3*)=>(1*)

Si voleva dimostrare che
(1) $a_n$ ammette limite finito
IMPLICA
(2) $a_n$ è limitata
e lo si vuole fare "per assurdo" mostrando che
se (2) è falsa allora (1) è falsa
Il problema di MrMeaccia mi sembra nell' esplicitare la falsità di (1) e (2) - cosa non immediata in effetti. Per farlo dobbiamo scrivere cosa significano (1) o (2) e negarle. Cominciamo dalla seconda:
(2) esiste una costante $M$ tale che per ogni $n$ si ha $|a_n|\le M$
La sua negazione è allora:
(2*) per ogni costante $M$ esiste un intero $n$ tale che $|a_n|>M$.
Da (2*), scegliendo $M=k$ intero si deduce
(2**) esiste una successione di interi $n_k$ tale che $\lim_{k\to+\infty}|a_{n_k}|=+\infty$
(a parole "esiste una successione estratta da $|a_n|$ che diverge").
A questo punto dovremmo negare la (1) ma questo è piuttosto complicato (possiamo riparlarne) e in realtà conviene passare per un'altra proprietà:
(3) ogni successione estratta di $a_n$ ammette limite finito.
E' noto (e lo diamo per buono) che (1) implica (3). DUNQUE (3) falsa implica (1) falsa e quindi se dimostriamo che
(2) falsa implica (3) falsa siamo a posto. Cosa vuol dire (3) falsa ? Negando (3) si trova:
(3*) esiste una successione estratta da $a_n$ che non ammette limite finito.
Possiamo allora dire che (2*) IMPLICA (3*) ?? (e quindi che (2*) IMPLICA (1*) come volevamo?). Come detto da (2*) otteniamo (2**) cioè l'esistenza di una successione estratta $a_{n_k}$ tale che $|a_{n_k}|\to+\infty$. Tale successione NON PUO' AVERE limite finito dato che, se $a_{n_k}\to l\in RR$ allora $|a_{n_k}|\to |l|\in RR$ mentre $|a_{n_k}|\to+\infty$.
Quindi la (2**) ci dà un'estratta che non ha limite finito e cioè (3*).
Riassumendo (2*)=>(2**)=>(3*)=>(1*)
Grazie ViciousGoblin! Adesso mi studio bene il tuo post! Ma direi che ho capito quello che hai scritto! 
Grazie anche a Seneca che ha avuto una immensa pazienza

Grazie anche a Seneca che ha avuto una immensa pazienza
