Dimostrazione
Se un esercizio del compito mi dovesse chiedere di dimostrare che una funzione è lipschitziana, come mi devo comportare ? Qualcuno mi potrebbe fornire qualche esempio concreto.
Molte grazie
Molte grazie
Risposte
Due piccoli suggerimenti. Che valgono in $R^n$.
Uno è fare ricorso al teorema di Lagrange.
Supponi di avere una funzione $f$ di classe $C^1$ su un insieme aperto $A$.
Prendi un sottoinsieme chiuso e limitato (ovvero compatto) $B$ di $A$. Per il teorema di Weierstrass le derivate parziali fi $f$ sono limitate su $B$ e quindi il teorema di Lagrange ti permette di ottenere la lipschitzianitò di $f$ su $B$. Va da sé che la cosa importante, per applicare questa tecnica, è la limitatezza delle derivate perziali. Quindi se hai, ad esempio, $\sin(x)$, questa ha la derivata limitata e quindi ne segue che è lipschitziana.
Una seconda strada c'è e la descrivo con un esempio. $|\sin(x)|$ è lipschitziana perché composta di due funzioni lipschitziane. Per la funzione interna lo abbiamo visto sopra. Per la funzione "esterna", il valore assoluto, lo si vede direttamente dalla definizione.
Uno è fare ricorso al teorema di Lagrange.
Supponi di avere una funzione $f$ di classe $C^1$ su un insieme aperto $A$.
Prendi un sottoinsieme chiuso e limitato (ovvero compatto) $B$ di $A$. Per il teorema di Weierstrass le derivate parziali fi $f$ sono limitate su $B$ e quindi il teorema di Lagrange ti permette di ottenere la lipschitzianitò di $f$ su $B$. Va da sé che la cosa importante, per applicare questa tecnica, è la limitatezza delle derivate perziali. Quindi se hai, ad esempio, $\sin(x)$, questa ha la derivata limitata e quindi ne segue che è lipschitziana.
Una seconda strada c'è e la descrivo con un esempio. $|\sin(x)|$ è lipschitziana perché composta di due funzioni lipschitziane. Per la funzione interna lo abbiamo visto sopra. Per la funzione "esterna", il valore assoluto, lo si vede direttamente dalla definizione.
Nooo! In generale in sottoinsiemi $\Omega$ di $R^n$ la regolarità $C^1$ NON implica la lipschitzianità.
Il controesempio non è semplicissimo ma si può trovare (cfr. ad esempio http://www.mat.uniroma1.it/people/troianiello/PDE.pdf , esercizio 12.2)
Condizioni sufficienti perché la regolarità $C^1(\overline{\Omega})$ implichi la lipschitzianità su $\Omega$ ($\Omega\subseteq\R^n$ aperto connesso):
- $\Omega$ convesso (ad esempio una palla)
oppure
- $\Omega$ con frontiera regolare
Il controesempio non è semplicissimo ma si può trovare (cfr. ad esempio http://www.mat.uniroma1.it/people/troianiello/PDE.pdf , esercizio 12.2)
Condizioni sufficienti perché la regolarità $C^1(\overline{\Omega})$ implichi la lipschitzianità su $\Omega$ ($\Omega\subseteq\R^n$ aperto connesso):
- $\Omega$ convesso (ad esempio una palla)
oppure
- $\Omega$ con frontiera regolare
Mi pare che Fioravante però abbia detto che vale la lipschitzianità su un compatto $B$ dentro $A$; quindi credo che sia corretto. In effetti è il metodo che si usa per lo studio qualitativo di una ode, quando si vuole andare a verificare le ipotesi del Teorema di Cauchy.
Che poi la regolarità $C^1$ su un aperto non implichi la lipschitzianità mi sembra anche abbastanza semplice da verificare; basta prendere una funzione $C^1$ su in intervallo aperto con derivata non limitata.
Che poi la regolarità $C^1$ su un aperto non implichi la lipschitzianità mi sembra anche abbastanza semplice da verificare; basta prendere una funzione $C^1$ su in intervallo aperto con derivata non limitata.
Sì, è vero, non avevo letto bene. Se uno si restringe a un compatto di $A$ funziona tutto.
Comunque io stavo dicendo di più: non basta nemmeno la regolarità $C^1$ fino alla frontiera (quindi la derivata limitata), serve una proprietà di estensibilità a $C^1(RR^n)$ (o la convessità).
Comunque io stavo dicendo di più: non basta nemmeno la regolarità $C^1$ fino alla frontiera (quindi la derivata limitata), serve una proprietà di estensibilità a $C^1(RR^n)$ (o la convessità).
Non capisco però il problema che poni; perchè vuoi estendere la funzione al di fuori dell'aperto? La vuoi estendere in modo che resti lipschitziana?
grazie Luca per l'esegesi 
No, dicevo che la regolarità $C^1$ della funzione, anche fino alla frontiera, non garantisce la lipschitzianità nell'aperto.
Se invece l'aperto ha frontiera regolare (la qual cosa garantisce che ogni funzione $f$ derivabile con derivata prolungabile per continuità fino alla frontiera sia prolungabile ad una funzione $\tilde{f}$ di classe $C^1$ su tutto $RR^n$) una qualunque funzione $C^1$ fino alla frontiera è anche globalmente lipschitziana sull'aperto.
Se una funzione è $C^1$ su $RR^n$, chiaramente è localmente lipschitziana in $RR^n$ e quindi è lipschitziana sull'aperto di cui sopra.
Se invece l'aperto ha frontiera regolare (la qual cosa garantisce che ogni funzione $f$ derivabile con derivata prolungabile per continuità fino alla frontiera sia prolungabile ad una funzione $\tilde{f}$ di classe $C^1$ su tutto $RR^n$) una qualunque funzione $C^1$ fino alla frontiera è anche globalmente lipschitziana sull'aperto.
Se una funzione è $C^1$ su $RR^n$, chiaramente è localmente lipschitziana in $RR^n$ e quindi è lipschitziana sull'aperto di cui sopra.
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