DIMOSTRAZIONE (2) DI MATEMATICA 1

[Davide_861]

salve ragazzi..il libro mi propone questa dimostrazione,ma non risolvendola non saprei se sia giusto quello che ho fatto:

sia f una funzione definita in $[0,2]$;definire la derivata di f in 1 e dimostrare che se f è derivabile in 1,allora è ivi anche continua.

grazie per l'aiuto!!

[G.D.5]

Sia $f:[0;2]->RR$; fissato $x_0=1$, sia $h=x-x_0=x-1$ l'incremento della variable indipendente: per definzone di derivatata prima, la derivata in $x_0=1$ è definita dal limite

$lim_{x to 1}(f(x)-f(1))/(x-1)$,

oppure, il che è lo stesso, dal limite

$lim_{h to 0}(f(1+h)-f(1))/h$.

Per definizione di dervata prima si ha che

$lim_{x to x_0}(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=f'(x_0)$;

esiste dunque un intorno di $x_0$ nel quale

$(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=f'(x_0)+varepsilon(x)$

con $lim_{x to x_0}varepsilon(x)=0$.
Moltiplicando per $x-x_0$ ambo i membri dell'ultima uguaglianza si ha

$f(x)-f(x_0)=(x-x_0)[f'(x_0)+varepsilon(x)] => f(x)=f(x_0)+(x-x_0)[f'(x_0)+varepsilon(x)]$.

Passando al limite per $x to x_0$ si ha che, essendo $f(x_0)$ un valore fissato, ed essendo $(x-x_0)[f'(x_0)+varepsilon(x)]$ un infintesimo per $x to x_0$:

$lim_{x to x_0}f(x)=f(x_0)$

cioè la tesi.

[Luca.Lussardi]

Più facilmente: se $x \ne x_0$ e $f$ è derivabile in $x_0$ allora $f(x)=(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)(x-x_0)+f(x_0) \to 0$ se $x \to x_0$. Ciò mostra che derivabilità implica continuità.

[G.D.5]

Giusto...effettivamente è molto pù semplice.

Grazie per la notazione.