Dimostrazione
Vorrei dimostrare una affermazione che non capisco, ossia: dire che la differenza di due numeri interi è divisibile per $p\inNN$ è la stessa cosa che dire che quei due numeri hanno lo stesso resto nella divisione per p.
La mia idea era che avendo due qualsiasi a e b interi e p naturale esiste il k intero:
$(a-b)/p=k => a/p-b/p=k$
Posso quindi scrivere:
] $a/p=b/p+k$
] $b/p=a/p-k$ aggiungo e tolgo k $b/p=(a/p-2k)+k$
Il punto è capire perché $a/p-2k$ sia un intero: effettivamente $a/p-b/p=k$ ed essendo per hp a dx dell'uguale k intero allora $a/p-b/p$ è intero. La differenza di due interi è un intero; ma quello che mi serve? Ovvero che dato un intero k e una differenza $g-h=k$ allora g e h sono interi? (Ove poi g sarà $a/p$ e $h=b/p$)?
Grazie
La mia idea era che avendo due qualsiasi a e b interi e p naturale esiste il k intero:
$(a-b)/p=k => a/p-b/p=k$
Posso quindi scrivere:
] $a/p=b/p+k$
] $b/p=a/p-k$ aggiungo e tolgo k $b/p=(a/p-2k)+k$
Il punto è capire perché $a/p-2k$ sia un intero: effettivamente $a/p-b/p=k$ ed essendo per hp a dx dell'uguale k intero allora $a/p-b/p$ è intero. La differenza di due interi è un intero; ma quello che mi serve? Ovvero che dato un intero k e una differenza $g-h=k$ allora g e h sono interi? (Ove poi g sarà $a/p$ e $h=b/p$)?
Grazie

Risposte
$a/p$ non ha ragione di esistere, così come $b/p$... Stai ragionando negli interi, non nei razionali.
Supponi che $a$ e $b$ diano lo stesso resto divisi per $p$: cosa significa questo? Cioè, come lo esprimi in formule? E cosa puoi dire di $a-b$?
Viceversa, supponi che $a-b$ sia divisibile per $p$ e che, per assurdo, $a$ e $b$ diano resti differenti se divisi per $p$: cosa significa questo? E cosa puoi dire di $a-b$? Contrasta con l'ipotesi fatta su $a-b$?
Supponi che $a$ e $b$ diano lo stesso resto divisi per $p$: cosa significa questo? Cioè, come lo esprimi in formule? E cosa puoi dire di $a-b$?
Viceversa, supponi che $a-b$ sia divisibile per $p$ e che, per assurdo, $a$ e $b$ diano resti differenti se divisi per $p$: cosa significa questo? E cosa puoi dire di $a-b$? Contrasta con l'ipotesi fatta su $a-b$?
Buonasera gugo
, grazie per la risposta.
Per quanto riguarda la prima parte, diciamola => l'avevo svolta così e non mi creava problemi per quello non l'avevo riportata.
=>
se a e b danno lo stesso resto allora posso scrivere: $a=pf+r$ & $b=pg+r'$ (con f e g interi), tuttavia essendo per hp $r=r'$ sottraendo membro a membro non trovo problemi a scrivere: $a-b=p(f-g) => (a-b)/p=f-g$ il che vuol dire come voluto che a-b è divisibile per p naturale essendo f-guna differenza di interi e quindi intero.
<=
Qui ho fatto una bella cacchiata, un ragionamento inutile. Mi ero perso in un grande e grave errore, hai ragione
.
Il punto che avevo inzialmente provato per assurdo, ma mi incespico alla fine (lo riporto):
$(a-b)=kp$ per definizione di divisibilità di a-b per p, ora scrivo $(a-b)/p=k$
Ipotizzo per assurdo che: $a=pf+r$ & $b=pg+r'$ con r diverso da r' in generale.
Se sottraggo: $a-b=p(f-g)+r-r'$ il secondo membro mi paiono tutti interi e così avevo gettato l'idea della dim. per assurdo.

Per quanto riguarda la prima parte, diciamola => l'avevo svolta così e non mi creava problemi per quello non l'avevo riportata.
=>
se a e b danno lo stesso resto allora posso scrivere: $a=pf+r$ & $b=pg+r'$ (con f e g interi), tuttavia essendo per hp $r=r'$ sottraendo membro a membro non trovo problemi a scrivere: $a-b=p(f-g) => (a-b)/p=f-g$ il che vuol dire come voluto che a-b è divisibile per p naturale essendo f-guna differenza di interi e quindi intero.
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Qui ho fatto una bella cacchiata, un ragionamento inutile. Mi ero perso in un grande e grave errore, hai ragione

Il punto che avevo inzialmente provato per assurdo, ma mi incespico alla fine (lo riporto):
$(a-b)=kp$ per definizione di divisibilità di a-b per p, ora scrivo $(a-b)/p=k$
Ipotizzo per assurdo che: $a=pf+r$ & $b=pg+r'$ con r diverso da r' in generale.
Se sottraggo: $a-b=p(f-g)+r-r'$ il secondo membro mi paiono tutti interi e così avevo gettato l'idea della dim. per assurdo.
Con le tue notazioni hai $a-b = (k-h)p + (r-r')$.
Se $r!=r'$ allora o $r>r'$ oppure $r
Nel primo caso, visto che $0<= r' < r
Nel secondo caso, hai $b-a=(k-h)p + (r'-r)$ e quindi, come sopra, $b-a$ non è divisibile per $p$; ma ciò è assurdo perché $b-a=-(a-b)$ è divisibile per $p$.
Se $r!=r'$ allora o $r>r'$ oppure $r
Grazie mille, non ci ero arrivato
