Dimostrazione
Sia I intervallo $f: I->RR$ f continua e ingettiva
Sia $f^-1: f(I)->I$ Allora $f^-1$ continua in f(I)
DIM
per le ipotesi su f e il Lemma si ha che f è strettamente monotona
Inoltre f(I) è un intervallo (per il teorema dei valori intermedi) (domanda:a che ci serve saperlo?)
Allora $f^-1$ strettamente monotona (domanda:perché? perché f è strett monotona?) e $f^-1(f(I))=I$ intervallo, quindi per il teorema 1 applicata a $f^-1$, essa è continua in f(I).
(LEMMA: I intevallo di $RR$, f: I->$RR$ f continua e ingettiva. Allora f strettamente monotona)
(TEO 1: $A in RR$ $f: A->RR$ tale che 1) f(A) intervallo 2) f monotona Allora f continua)
Sia $f^-1: f(I)->I$ Allora $f^-1$ continua in f(I)
DIM
per le ipotesi su f e il Lemma si ha che f è strettamente monotona
Inoltre f(I) è un intervallo (per il teorema dei valori intermedi) (domanda:a che ci serve saperlo?)
Allora $f^-1$ strettamente monotona (domanda:perché? perché f è strett monotona?) e $f^-1(f(I))=I$ intervallo, quindi per il teorema 1 applicata a $f^-1$, essa è continua in f(I).
(LEMMA: I intevallo di $RR$, f: I->$RR$ f continua e ingettiva. Allora f strettamente monotona)
(TEO 1: $A in RR$ $f: A->RR$ tale che 1) f(A) intervallo 2) f monotona Allora f continua)
Risposte
Ciao, secondo me hai ragione, non serve che \( f(I) \) sia un intervallo. E si, \( f^{-1} \) è monotona perché lo è $f$, puoi provare a dimostrarlo!
[strike]In realtà serve sapere che $f(I)$ sia un intervallo per garantire la continuità di $f^{-1}$ in $f(I)$.[/strike] (leggi dopo).
Confesso che non sono sicurissimo, ma quindi dici che il suo Teo 1 vale solo se $A$ è un intervallo?
[strike]L'immagine di $A$ mediante $f$ dev'essere un intervallo ($f(A)$).[/strike] (leggi dopo).
@Bremen000, mi sa che hai ragione. Ho fatto confusione con immagini e preimmagini. Dovevo stare più attento, scusate.
Non capisco. Nella dimostrazione sai che \( f^{-1} : f(I) \to \mathbb{R} \) , che \( f^{-1} \) è monotona e che \( f^{-1}(f(I))=I \) è un intervallo. Queste sono le ipotesi del Teo 1 e dunque \( f^{-1} \) è continua. Dove ho usato che \( f(I) \) è un intervallo?
@Bremen000, leggi il mio messaggio precedente. 
Letto 
mi fate un riassunto? non ho capito nulla di ciò che avete scritto
Il mio primo messaggio contiene la risposta alle tue domande. Il resto è inutile per te.
spero sia così
l'ho chiesto altrove e mi hanno risposto:il fatto che f(I) sia un intervallo serve per poter applicare il criterio di continuita' (se g monotona in [a,b] e ogni valore tra g(a) e g(b) e' ottenuto da g, allora g continua)
l'ho chiesto altrove e mi hanno risposto:il fatto che f(I) sia un intervallo serve per poter applicare il criterio di continuita' (se g monotona in [a,b] e ogni valore tra g(a) e g(b) e' ottenuto da g, allora g continua)
Ma quello che hai scritto ora è il tuo Teo1 detto con altre parole. Nella formulazione che hai tu e che mi sembra giusta, non serve che $A$ sia un intervallo!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo