Dimostrazione
Data una funzione f(x) la quale è <0 per ogni x e derivabile su tutto R. Essa inoltre è convessa su R e per x tendente ad infinito, f(x) tende a 0. Come dimostrereste che il limite per x tendente ad infinito, della derivata è zero? Questa proprietà avviene in ogni caso?
Risposte
Se la funzione ha un asintoto orizzontale a $+infty$
$lim_(x->+infty) f(x)=c$
con $y=c$ asintoto
allora è lecito dire che per $x->+infty$ presa una qualunque
$f(x)~~f(x+h)~~c$
quindi se facciamo il limite del rapporto incrementale da un certo punto in poi (in cui è lecito considerare $f(x)~~c$)
$lim_(h->0) (f(x+h)-f(x))/h=0$ (per $x$ molto grandi!!! come la derivata di una funzione costante)
difatti ci basta guardare l'esempio quaggiù in cui la funzione in rosso ha un'asintoto orizzontale $y=-2$, la derivata in verde tende a zero per $x->+infty$
[asvg]width=550;
height=550;
axes();
stroke="red";
plot("-e^(-x)-2");
stroke="green";
plot("e^(-x)");[/asvg]
$lim_(x->+infty) f(x)=c$
con $y=c$ asintoto
allora è lecito dire che per $x->+infty$ presa una qualunque
$f(x)~~f(x+h)~~c$
quindi se facciamo il limite del rapporto incrementale da un certo punto in poi (in cui è lecito considerare $f(x)~~c$)
$lim_(h->0) (f(x+h)-f(x))/h=0$ (per $x$ molto grandi!!! come la derivata di una funzione costante)
difatti ci basta guardare l'esempio quaggiù in cui la funzione in rosso ha un'asintoto orizzontale $y=-2$, la derivata in verde tende a zero per $x->+infty$
[asvg]width=550;
height=550;
axes();
stroke="red";
plot("-e^(-x)-2");
stroke="green";
plot("e^(-x)");[/asvg]
Prima di tutto ti chiederei di figurarti qualche funzione soddisfacente le ipotesi del tuo problema.
"fhabbio":
Se la funzione ha un asintoto orizzontale a $+infty$
$lim_(x->+infty) f(x)=c$
con $y=c$ asintoto
allora è lecito dire che per $x->+infty$ presa una qualunque
$f(x)~~f(x+h)~~c$
quindi se facciamo il limite del rapporto incrementale da un certo punto in poi (in cui è lecito considerare $f(x)~~c$)
$lim_(h->0) (f(x+h)-f(x))/h=0$ (per $x$ molto grandi!!! come la derivata di una funzione costante)...
No, è sbagliato. Prendi $f(x)=\frac{\sin x}{x}$. Ha un asintoto orizzontale ma la derivata non è infinitesima. Infatti nella traccia di questo esercizio c'è una ipotesi in più che tu hai trascurato: la funzione deve essere convessa.
wow è vero...hai ragione dissonance...e quindi come si risolve considerando che
$lim_(h->0)(f'(x+h)-f'(x))/h<0$ per $x$ sufficientemente grandi?
ciò significa che da una certa $x$ in poi non ho cambi di concavità ma non so se può andare d'accordo col fatto che abbia precedentemente detto $lim_(h->0)(f(x+h)-f(x))/h=0$ per $x$ molto grandi
$lim_(h->0)(f'(x+h)-f'(x))/h<0$ per $x$ sufficientemente grandi?
ciò significa che da una certa $x$ in poi non ho cambi di concavità ma non so se può andare d'accordo col fatto che abbia precedentemente detto $lim_(h->0)(f(x+h)-f(x))/h=0$ per $x$ molto grandi
@fhabbio: Lascia stare questi ragionamenti, sono tutti sbagliati. Non puoi fare niente con gli "$x$ molto grandi": la derivata è un processo di limite in $h$, che è indipendente da $x$.
L'osservazione corretta da cui puoi partire è che $f'$ è una funzione crescente.
L'osservazione corretta da cui puoi partire è che $f'$ è una funzione crescente.
Scusate, ma credo che ci sia qualche inesattezza nel testo: come fa una funzione siffatta a non cambiare convessità?
Infatti una funzione così fatta, ossia che non cambia convessità, può solo essere concava su tutto R. Altrimenti come consigliava Seneca dovrebbe passare da convessa a concava e poi andare asintoticamente a zero. Non esiste una funzione globalmente convessa che vada asintoticamente a zero dal basso.
Non ho capito una cosa: come mai la funzione $f(x)=sinx/x$ non ha derivata infinitesima per $x rarr +oo$ ?
Anzitutto essa è di classe C¹ $AA x in R-{0}$ (uso il meno perchè \ non me lo fa usare) per cui:
$f'(x)=(x*cosx-sinx)/x^2 $
$ lim_(x->+oo) f'(x)=0$
Dove sbaglierei scusa? Questa non è una funzione che ha derivata infinitesima per x->oo?
Non ho capito una cosa: come mai la funzione $f(x)=sinx/x$ non ha derivata infinitesima per $x rarr +oo$ ?
Anzitutto essa è di classe C¹ $AA x in R-{0}$ (uso il meno perchè \ non me lo fa usare) per cui:
$f'(x)=(x*cosx-sinx)/x^2 $
$ lim_(x->+oo) f'(x)=0$
Dove sbaglierei scusa? Questa non è una funzione che ha derivata infinitesima per x->oo?
Si hai ragione, ma il concetto non cambia. Prova con $\frac{\sin x^3}{x}$, questo dovrebbe andare bene
No che non va bene, per $x rarr +oo $ la funzione seno è limitata tra -1 e 1 mentre la funzione $1/x$ è infinitesima. Insomma non confonderti con la funzione intorno a zero.
Io credo che, se correggessimo "convesso" con "concavo" la traccia del problema, allora è risolto con l'approccio di fhabbio senza problemi. Se invece è convesso allora semplicemente una funzione così fatta non esiste.
Io credo che, se correggessimo "convesso" con "concavo" la traccia del problema, allora è risolto con l'approccio di fhabbio senza problemi. Se invece è convesso allora semplicemente una funzione così fatta non esiste.
La funzione $f(x)=\frac{\sin (x^3)}{x}$ ha un asintoto orizzontale per $\x\to +\infty$ ma $f'(x)$ non tende a $0$ quando $x\to +\infty$. E' questo l'esempio che ho voluto proporre.
Sul convesso/concavo, non cambia molto. Entrambe le condizioni garantiscono che $f'$ sia monotona. Perciò il limite per $x\to +\infty$ di $f'(x)$ deve esistere e quindi deve per forza essere $0$. Certo se poi vogliamo anche che $f(x)<0$ allora escludiamo la possibilità che $f$ sia convessa. Ma questo è un teorema a parte: una funzione convessa su tutta una semiretta non può essere limitata dall'alto da una funzione affine, a meno di essere essa stessa una funzione affine.
L'approccio di fhabbio è sbagliato a livello concettuale, come dicevo nel mio post precedente. Mi dispiace per avere dimenticato l'esponente $x^3$ nel controesempio $f(x)=\frac{\sin x^3}{x}$, ma spero con questo post di chiarire la confusione generata da quell'errore.
Sul convesso/concavo, non cambia molto. Entrambe le condizioni garantiscono che $f'$ sia monotona. Perciò il limite per $x\to +\infty$ di $f'(x)$ deve esistere e quindi deve per forza essere $0$. Certo se poi vogliamo anche che $f(x)<0$ allora escludiamo la possibilità che $f$ sia convessa. Ma questo è un teorema a parte: una funzione convessa su tutta una semiretta non può essere limitata dall'alto da una funzione affine, a meno di essere essa stessa una funzione affine.
L'approccio di fhabbio è sbagliato a livello concettuale, come dicevo nel mio post precedente. Mi dispiace per avere dimenticato l'esponente $x^3$ nel controesempio $f(x)=\frac{\sin x^3}{x}$, ma spero con questo post di chiarire la confusione generata da quell'errore.
Ah scusami avrei dovuto capirlo da me che intendevi quello. In pratica sarebbe una funzione modulata da 1/x e quindi y=0 è l'asintoto però oscilla sempre più vigorosamente fino ad appunto ad avere derivata "oscillante e divergente".
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