Dimostrazione
Salve a tutti!
Come posso dimostrare che $ 2^n $ cresce più velocemente di $ n^2 $ con $ nin N $ ?
Io ho solo una mezza idea intuitiva...
Come posso dimostrare che $ 2^n $ cresce più velocemente di $ n^2 $ con $ nin N $ ?
Io ho solo una mezza idea intuitiva...
Risposte
basta verificare che
\[\lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{2^n}=0\]
\[\lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{2^n}=0\]
Grazie per la risposta!
Il problema è proprio questo.. vorrei riuscire a dimostrarlo.
Io avevo pensato a qualcosa utilizzando il concetto di derivata, ma sono solo idee... se qualcuno ha le idee più chiare di me accetto qualsiasi suggerimento! Se qualcuno ha anche la dimostrazione meglio ancora!
Il problema è proprio questo.. vorrei riuscire a dimostrarlo.
Io avevo pensato a qualcosa utilizzando il concetto di derivata, ma sono solo idee... se qualcuno ha le idee più chiare di me accetto qualsiasi suggerimento! Se qualcuno ha anche la dimostrazione meglio ancora!
Bè si può procedere ad esempio applicando il criterio del rapporto per successioni:
\begin{align}
L=\lim_{n\to+\infty}\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^n}{n^2}=\lim_{n\to+\infty}\frac{(n+1)^2}{n^2}\cdot\frac{2^n}{2^{n}\cdot 2}=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad L=0.
\end{align}
\begin{align}
L=\lim_{n\to+\infty}\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^n}{n^2}=\lim_{n\to+\infty}\frac{(n+1)^2}{n^2}\cdot\frac{2^n}{2^{n}\cdot 2}=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad L=0.
\end{align}
Per utilizzare il concetto di derivata, devi considerare funzioni
, qui abbiamo successioni;
provando a considerare le funzioni nella variabile $x $ possiamo scrivere $lim_(x->infty)x^2/(2^x) $, a questo punto abbiamo una forma indeterminata $infty/infty $, e ci sono le condizioni per applicare il famoso teorema del marchese otteniamo iterando
due volte $lim_(x->infty)2/(2^xlog^2 (2)) =0$
, qui abbiamo successioni;
provando a considerare le funzioni nella variabile $x $ possiamo scrivere $lim_(x->infty)x^2/(2^x) $, a questo punto abbiamo una forma indeterminata $infty/infty $, e ci sono le condizioni per applicare il famoso teorema del marchese otteniamo iterando
due volte $lim_(x->infty)2/(2^xlog^2 (2)) =0$
Vi ringrazio moltissimo!
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