Dimostrare unicità soluzione problema di cauchy
ho un dubbio teorico sull'equazioni differenziali
dato un generico problema di cauchy del tipo ${(y^{\prime}=f(x,y)),(y(x_0)=y_0):}$ come posso determinare che la soluzione del problema di cauchy è unica?
dato un generico problema di cauchy del tipo ${(y^{\prime}=f(x,y)),(y(x_0)=y_0):}$ come posso determinare che la soluzione del problema di cauchy è unica?
Risposte
Basta andare a leggersi l'enunciato del Teorema di esistenza ed unicità per rispondere...
Ma forse c'è qualcosa di particolare che ti turba?
Ma forse c'è qualcosa di particolare che ti turba?
"gugo82":
Ma forse c'è qualcosa di particolare che ti turba?
ecco si infatti hai centrato in pieno il problema gugo82 perché l'enunciato lo conosco ma ho dei dubbi.non ho continuato il post proprio per vedere le risposte.per vedere se ammette soluzione unica basta vedere se la $f$ è lipschtziana rispetto ad $y$ ed uniformemente continua rispetto ad $x$.adesso quello che mi turba é il fatto che in alcuni esercizi capita che mi chieda di dire se al variare di $y_0 in RR$ le soluzioni sono uniche o no.come faccio? calcolata la soluzione e vista dov'è finita come posso dire se è unica o no?
Andandoti proprio a controllare la lipschitzianità di [tex]$f(x,y)$[/tex], ad esempio.
Tieni presente che una condizione sufficiente alla lipschitzianità (locale) è [tex]$f$[/tex] derivabile rispetto ad [tex]$y$[/tex] e [tex]$\frac{\partial f}{\partial y}$[/tex] limitata (localmente).
Però sarebbe meglio se scrivessi un esempio.
Tieni presente che una condizione sufficiente alla lipschitzianità (locale) è [tex]$f$[/tex] derivabile rispetto ad [tex]$y$[/tex] e [tex]$\frac{\partial f}{\partial y}$[/tex] limitata (localmente).
Però sarebbe meglio se scrivessi un esempio.
Devi verificare la lipschitzianità locale in $y$ del campo vettoriale $f$ in un intorno del dato iniziale $y_0$!
EDIT: Posto un esempio illuminante, [tex]\sqrt{x}[/tex] è localmente lipschitziana in ogni punto di [tex]\mathbb{R}_+-\{0\}[/tex] ma non in 0 poiché la sua derivata tende ivi a [tex]+\infty[/tex]!
EDIT: Posto un esempio illuminante, [tex]\sqrt{x}[/tex] è localmente lipschitziana in ogni punto di [tex]\mathbb{R}_+-\{0\}[/tex] ma non in 0 poiché la sua derivata tende ivi a [tex]+\infty[/tex]!
"gugo82":
Andandoti proprio a controllare la lipschitzianità di [tex]$f(x,y)$[/tex], ad esempio.
Tieni presente che una condizione sufficiente alla lipschitzianità (locale) è [tex]$f$[/tex] derivabile rispetto ad [tex]$y$[/tex] e [tex]$\frac{\partial f}{\partial y}$[/tex] limitata (localmente).
Però sarebbe meglio se scrivessi un esempio.
ok allora posto quest'esempio ${(y^{\prime}=2y-y^2),(y(0)=y_0):}$ verificare per quali valori di $y_0$ il problema di cauchy ammette soluzione uniche.
up
Il campo vettoriale in tale caso è localmente lipschitziano: [tex]$\frac{\partial f}{\partial y}=2-2y$[/tex] è limitata localmente per cui ogni dato iniziale vabbene per l'unicità e l'esistenza della soluzione!
"j18eos":
Il campo vettoriale in tale caso è globalmente lipschitziano: [tex]$\frac{\partial f}{\partial y}=2-2y$[/tex] è limitata ovunque per cui ogni dato iniziale vabbene per l'unicità e l'esistenza della soluzione!
@j18eos: Le spariamo grosse oggi... Sarà il caldo!
Come fa una funzione affine ad essere globalmente limitata?
Esercizio per casa: "Una funzione affine (ovviamente s'intende definita in tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex]) è globalmente limitata se e solo se essa è costante".
@mazzy89: La funzione [tex]$\frac{\partial f}{\partial y} (x,y) =2(1-y)$[/tex] è localmente limitata (per il teorema di Weierstrass), ergo [tex]$f(x,y)=2y-y^2$[/tex] è localmente lipschitziana rispetto ad [tex]$y$[/tex] in ogni striscia del tipo [tex]$\mathbb{R} \times I$[/tex] (in cui [tex]$I$[/tex] è un intervallo limitato); il teorema di esistenza ed unicità in piccolo ti assicura che, almeno localmente, hai esistenza ed unicità della soluzione per qualunque condizione iniziale [tex]$(x_0,y_0)$[/tex].
Non solo, c'aggiungo che venerdì ho l'esame scritto sulle ODE figuratevi un pò!
Ho corretto, tra l'altro che ci volete fare: accettate le mie defajance, lapsus & sinonimi e rideteci sopra; c'è la metto tutta ma sono più forti di me
figuratevi un pò!Ho corretto, tra l'altro che ci volete fare: accettate le mie defajance, lapsus & sinonimi e rideteci sopra; c'è la metto tutta ma sono più forti di me
Stai più attento all'esame, che Berti non te la fa passare liscia.
P.S.: E comportati bene con la Magistrelli!
P.S.: E comportati bene con la Magistrelli!
[OT]
Speriamo che lei non si sia offesa per il fatto che il corso l'ho seguito 3 anni fà circa
[/OT]
Non mi preoccupano comunque, con carta e penna riesco a differenza del pc!
Speriamo che lei non si sia offesa per il fatto che il corso l'ho seguito 3 anni fà circa
[/OT]
Non mi preoccupano comunque, con carta e penna riesco a differenza del pc!
[OT, stiamo divagando...]
Condivido lo studio con lei e ti posso assicurare che non si è offesa (almeno non recentemente).
[/OT]
Mi scuso con mazzy89 per l'OT; questo è l'ultimo.
Aspetto di riprendere la discussione.
Condivido lo studio con lei e ti posso assicurare che non si è offesa (almeno non recentemente).
[/OT]
Mi scuso con mazzy89 per l'OT; questo è l'ultimo.
Aspetto di riprendere la discussione.
"gugo82":
[OT, stiamo divagando...]
Condivido lo studio con lei e ti posso assicurare che non si è offesa (almeno non recentemente).
[/OT]
Mi scuso con mazzy89 per l'OT; questo è l'ultimo.
Aspetto di riprendere la discussione.
non vi preoccupate signori.possiamo divagare quanto vogliamo.il caldo è dalla nostra parte
.ci mancherebbe.chiaro gugo82 il concetto.basta appunto come dicevi te applicare le ipotesi del teorema di esistenza ed unicità in piccolo per dimostrare ciò che andavo cercando. invece propongo un'altro esercizio in cui non capisco il perché del risultatorisolvere il problema di cauchy al variare di $y_0$
${(y^{\prime}=y^2-y),(y(0)=y_0):}$
il problema è stato svolto in aula da mio prof e si è giunti al seguente risultato:
se $y_0>1$ la soluzione è unica ma non è globale (capisco il perché)
se $0<=y_0<=1$ è unica e globale (capisco il perché)
se $y_0<0$ non è unica e non è globale e qui non riesco a capire il perché la soluzione per $y_0<0$ non è unica.
La EDO è a variabili separabili ed autonoma, quindi si integra facilmente usando le condizioni iniziali:
[tex]$\int_{0}^x \frac{y^\prime (\tau)}{y^2(\tau)-y(\tau)}\ \text{d} \tau =\int_0^x\ \text{d} \tau$[/tex]
[tex]$\int_{y_0}^{y(x)} \frac{1}{t(t-1)} =x$[/tex] (ho tenuto presente che, per [tex]$y_0<0$[/tex], vicino a [tex]$0$[/tex] la soluzione è derivabile e strettamente crescente, quindi si può fare la sostituzione [tex]$t=y(\tau)$[/tex])
[tex]$\left[ \ln \frac{|t-1|}{|t|}\right]_{y_0}^{y(x)} =x$[/tex];
se [tex]$y_0<0$[/tex] allora intorno a [tex]$0$[/tex] si ha [tex]$y(x)<0<1$[/tex], quindi [tex]$|y(x)-1|=1-y(x)$[/tex] e [tex]$|y(x)|=-y(x)$[/tex] e si può scrivere:
[tex]$\ln \frac{y(x)-1}{y(x)} =x+\ln \frac{y_0-1}{y_0}$[/tex]
[tex]$\frac{y(x)-1}{y(x)}=\frac{y_0-1}{y_0}\ e^x$[/tex]
da cui si ricava [tex]$y(x)$[/tex] in maniera elementare e probabilmente si vede pure la non globalità.
Non capisco perchè venga detto che si perde unicità: visto che [tex]$f(x,y)$[/tex] è localmente lipschitziana, ciò va contro il teorema che abbiamo già citato...
[tex]$\int_{0}^x \frac{y^\prime (\tau)}{y^2(\tau)-y(\tau)}\ \text{d} \tau =\int_0^x\ \text{d} \tau$[/tex]
[tex]$\int_{y_0}^{y(x)} \frac{1}{t(t-1)} =x$[/tex] (ho tenuto presente che, per [tex]$y_0<0$[/tex], vicino a [tex]$0$[/tex] la soluzione è derivabile e strettamente crescente, quindi si può fare la sostituzione [tex]$t=y(\tau)$[/tex])
[tex]$\left[ \ln \frac{|t-1|}{|t|}\right]_{y_0}^{y(x)} =x$[/tex];
se [tex]$y_0<0$[/tex] allora intorno a [tex]$0$[/tex] si ha [tex]$y(x)<0<1$[/tex], quindi [tex]$|y(x)-1|=1-y(x)$[/tex] e [tex]$|y(x)|=-y(x)$[/tex] e si può scrivere:
[tex]$\ln \frac{y(x)-1}{y(x)} =x+\ln \frac{y_0-1}{y_0}$[/tex]
[tex]$\frac{y(x)-1}{y(x)}=\frac{y_0-1}{y_0}\ e^x$[/tex]
da cui si ricava [tex]$y(x)$[/tex] in maniera elementare e probabilmente si vede pure la non globalità.
Non capisco perchè venga detto che si perde unicità: visto che [tex]$f(x,y)$[/tex] è localmente lipschitziana, ciò va contro il teorema che abbiamo già citato...
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