Dimostrare tramite definizione di limite...
Salve. Pomeriggio ho l'appello di analisi 1,perciò spero di chiudere questo topic in mattinata.
Ho questo esercizio che mi chiede di dimostrare tramite la definizione di limite la falsità della seguente affermazione:
$ lim_(n) (n^2+n)/(n+3)=+infty $
io ho proceduto così e vorrei sapere se è giusto il ragionamento:
$ (n^2+n)/(n+3)>k $
$ (n^2+n)>k(n+3) $
$ n^2+n-kn-3k>0 $
$ n^2+n(1-k)-3k>0 $
$ Delta=(1-k)^2+12k=k^2-2k+12k+1 $ $ rarr $ $ n=(-(1-k)±sqrt(k^2+10k+1))/2 $ $ rarr $ $ n>(-(1-k)+sqrt(k^2+10k+1))/2 $
$ K^2+10k+1>0 $
$ Delta=100-4=96>0 $
quindi ho che
$ k<(-10-sqrt(96))/2 $ e $ k>(-10k+sqrt(96))/2 $
a questo punto escludo quei valori per $ k<(-10-sqrt(96))/2 $ ed ho finito. E' giusto?
Ho questo esercizio che mi chiede di dimostrare tramite la definizione di limite la falsità della seguente affermazione:
$ lim_(n) (n^2+n)/(n+3)=+infty $
io ho proceduto così e vorrei sapere se è giusto il ragionamento:
$ (n^2+n)/(n+3)>k $
$ (n^2+n)>k(n+3) $
$ n^2+n-kn-3k>0 $
$ n^2+n(1-k)-3k>0 $
$ Delta=(1-k)^2+12k=k^2-2k+12k+1 $ $ rarr $ $ n=(-(1-k)±sqrt(k^2+10k+1))/2 $ $ rarr $ $ n>(-(1-k)+sqrt(k^2+10k+1))/2 $
$ K^2+10k+1>0 $
$ Delta=100-4=96>0 $
quindi ho che
$ k<(-10-sqrt(96))/2 $ e $ k>(-10k+sqrt(96))/2 $
a questo punto escludo quei valori per $ k<(-10-sqrt(96))/2 $ ed ho finito. E' giusto?
Risposte
Così hai dimostrato la correttezza di quella affermazione, semmai. E poi quel limite fa veramente $+oo$ mi pare davvero strano che ti chiede di dimostrarne la FALSITA :\
a dir la verità non so perchè sia così. questo esercizio è basato su uno simile svolto dal professore al ricevimento.
In questo caso cosa dovrei dirgli al professore,che non si può dimostrare la falsità visto che il limite esiste e che semmai gli posso dimostrare la veridicità?
In questo caso cosa dovrei dirgli al professore,che non si può dimostrare la falsità visto che il limite esiste e che semmai gli posso dimostrare la veridicità?
E comunque non hai proceduto correttamente una volta trovato il $\Delta$ di n. Hai ottenuto l'espressione
$\Delta = k^2+10k+1$ e ti va benissimo, perchè calcoli il delta di $k$?
Dalla definizione sai che $k$ dev'essere $>0$, pertanto quel delta in quanto somma di termini positivi è positivo.
Poi hai sbagliato perchè hai usato i coefficienti dell'espressione in $k$ per trovarti $n$. Hai:
$n = \frac { (k-1) +- \sqrt{ k^2+10k+1} } { 2} $
ovvero $n > \frac { (k-1) + \sqrt{ k^2+10k+1} } { 2}$
Hai provato che il limite diverge.
$\Delta = k^2+10k+1$ e ti va benissimo, perchè calcoli il delta di $k$?
Dalla definizione sai che $k$ dev'essere $>0$, pertanto quel delta in quanto somma di termini positivi è positivo.
Poi hai sbagliato perchè hai usato i coefficienti dell'espressione in $k$ per trovarti $n$. Hai:
$n = \frac { (k-1) +- \sqrt{ k^2+10k+1} } { 2} $
ovvero $n > \frac { (k-1) + \sqrt{ k^2+10k+1} } { 2}$
Hai provato che il limite diverge.
"lucatrix":Esatto!
In questo caso cosa dovrei dirgli al professore,che non si può dimostrare la falsità visto che il limite esiste e che semmai gli posso dimostrare la veridicità?
N.B.: Puoi anche dirgli la mia seconda firma personale
qui sotto!
"pater46":
E comunque non hai proceduto correttamente una volta trovato il $\Delta$ di n. Hai ottenuto l'espressione
$\Delta = k^2+10k+1$ e ti va benissimo, perchè calcoli il delta di $k$?
Può essere che il mio professore lo calcola perchè vuole sapere anche i valori di k per cui è verificata o non?
Si probabile, comunque solitamente si sceglie un k positivo, quindi in questo caso non ne avevi necessità.
Ok,grazie tante. Allora per il si e per il no io il k glielo calcolo anche, non si sa mai! 
Modifico adesso i miei errori nei calcoli al primo post così le anime pie future avranno una traccia per il ragionamento da fare.
Modifico adesso i miei errori nei calcoli al primo post così le anime pie future avranno una traccia per il ragionamento da fare.
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