Dimostrare Teorema dei valori intermedi per funzioni non lim

[FrederichN.]

Ciao ragazzi, ho una funzione f definita in |R+ tale che il suo limite per x tendenti a 0 sia meno infinito, x tendenti ad infinito sia infinito.
Voglio dimostrare che l'immagine della funzione è l'insieme !R.
E' una generalizzazione del teorema dei valori intermedi, ma non riesco a formalizzare decentemente ! mi dareste una mano?

Ho pensato di utilizzare il teorema di connessione, affermando i due limiti e dicendo che dunque l'immagine del dominio deve essere un intervallo. Non saprei come proseguire se non con un "questo intervallo è |R, si vede "

[gugo82]

"FrederichN.":Ciao ragazzi, ho una funzione f definita in |R+ tale che il suo limite per x tendenti a 0 sia meno infinito, x tendenti ad infinito sia infinito.
Voglio dimostrare che l'immagine della funzione è l'insieme !R.

Falso; prendi:

[tex]$f(x):=\begin{cases} -\frac{x+1}{x} &\text{, se $0
ad esempio...

In altre parole, manca un'ipotesi fondamentale sulla [tex]$f$[/tex].


[mod="gugo82"]Non è possibile che dopo 91 post ancora non inserisci le formule decentemente.
Se dal prossimo post non ti vedo usare almeno il MathML, chiederò di prendere provvedimenti.[/mod]

[FrederichN.]

Argh, ho dimenticato di dire che ovviamente la f è continua !

Perdonami, visto che avrei dovuto elencare ipotesi tutte notazionalmente "leggere" pensavo fosse superfluo..

[FrederichN.]

Ragazzi nessuno riesce a darmi una mano?

[regim]

Vediamo se ho capito, tu hai una funzione continua nei reali positivi, e tende a $-oo$ quando $x->0$ e a $+oo$ quando $x->+oo$.
Allora, poichè l'insieme dei reali positivi è connesso, l'immagine della funzione è quindi connessa, perchè la funzione è continua, questo negli insiemi dei numeri reali significa che contiene tutti i valori intermedi tra due qualunque che gli appartengono. Date le ipotesi, quindi, quale che sia il numero reale che consideri, poichè esistono sempre un numero più grande e uno più piccolo di lui nell'immagine, per la faccenda dei limiti di cui sopra, ecco allora che anche quel numero appartiene all'immagine, che quindi coincide con $R$.

[FrederichN.]

Uhmm.. Avevo pensato a qualcosa del tipo, ma credo sia ancora troppo 'si vede'. La faccenda più noiosa è, oltre il formalizzare quel "dal momento che vale il teorema dei valori intermedi e visti i limiti posso prendere numeri piccoli o grandi quanto diavolo mi pare, beccherò un intervallo tutto compreso nell'immagine", fare il passo successivo, affermare che questo è proprio $R$

[regim]

FrederichN, soprassediamo su un termine che hai usato. Per il resto ti sbagli, la mia dimostrazione non è affatto basata sul si vede, è, se vuoi, discorsiva in un punto, quando ho parlato "del fatto dei limiti", che non credevo avesse necessità di ulteriori spiegazioni, ma il resto è formalmente ineccepibile, e, seppur richiami due teoremi, uno sugli insiemi connessi dei numeri reali, e l'altro riguarda le funzioni continue definite su insiemi connessi, che quindi ti invito a studiarti, anche completa e definitiva.

[FrederichN.]

Regim, non intendevo minimamente urtarti o infastidirti, non vorrei essere frainteso !
Buona notte e scusami per l'ambiguità creatasi nel mio ultimo post

[regim]

Non me la sono presa, ma ti ringrazio per la precisazione

[gugo82]

[mod="gugo82"]

"FrederichN.":Quel '****' leggilo come una forte partecipazione al problema

Non posso permettere che si usi un linguaggio del genere: ti prego di usare un sinonimo.[/mod]

[FrederichN.]

Ho corretto Gugo. Scusatemi !