Dimostrare questa disuguaglianza

[olanda2000]

Come dimostro che è falsa la disuguaglianza:

$|f(y) - f(x)| <= H*|y-x|^(0,75) $

per la funzione:
$ x*sin(1/x) $
nell'intervallo (0,1)

H= costante


Traccia per la risposta: disegnare il grafico, scegliere due ascisse y e x in cui il seno vale 1 e 0 rispettivamente, così elimino il SIN nell'espressione.
Passando al limite , la successione dei punti yn e xn tende a zero, mentre la differenza dei valori della funzione no, per cui la disuguaglianza è assurda.
Ho provato , rimane |y|<= 0
però anche y tende a zero! Quindi?

Grazie

[gugo82]

Beh, seguendo la traccia mi pare si concluda facilmente.
Supponi vera la disuguaglianza $|f(x)-f(y)|<= H|x-y|^(3/4)$ e scegli $x_n$ ed $y_n$ come suggerito.
I rapporti $(|f(x_n)-f(y_n)|)/(|x_n-y_n|^(3/4))$ dovrebbero essere limitati superiormente da $H$; ma ciò è assurdo, e te ne accorgi passando al limite i rapporti.

Osserva che lo stesso ragionamento funziona per ogni esponente $gamma in ]1/2, 1]$ che tu voglia sostituire al posto di $3/4$ nel secondo membro della disuguaglianza.

[olanda2000]

Perchè la disuguaglianza non vale per esponenti <= di 1/2 ?
Grazie

[gugo82]

Dove ho scritto questa cosa?

[olanda2000]

hai scritto "Osserva che lo stesso ragionamento funziona per ogni esponente ]1/2 , 1] ".

[gugo82]

Il che non vuol dire niente rispetto agli esponenti $<=1/2$, nè chela disuguaglianza è vera nè che è falsa.

[olanda2000]

Ho capito, si usa quindi un'altra dimostrazione per la disuguaglianza quando l'esponente è <= 1/2
PS: il limite del rapporto che hai scritto a me non tende a infinito. Come mai?

[gugo82]

"olanda2000":PS: il limite del rapporto che hai scritto a me non tende a infinito. Come mai?

E che ne so... Posta i tuoi calcoli e vediamo.