Dimostrare non lipschitzianità

[cande95]

Salve, sono alle prese con il seguente problema di cauchy:

\( \begin{cases} y'= \sqrt[5]{{y}} \\ y(0)=0 \end{cases} \)

Il problema ha due soluzioni:

\( y_1(x)=0 \)

e

\( y_2(x)=\frac {4\sqrt[]{{2}} }{5 \sqrt [4]{5}} x^{\frac{5}{4}} \)

Mi si chiede di giustificare perché questo non è in contraddizione con il teorema di Peano Picard. E' sufficiente dire che \( f(t,y)= \sqrt[5]{y} \) non ha le derivate continue in un intorno di 0 per poter giustificare la non validità del teorema ?

[quantunquemente]

secondo me no
si dovrebbe dimostrare direttamente che non è verificata la condizione di lipschitzianità

[cande95]

Anche secondo me, ma impostando la disuguaglianza non so come maneggiare per trovare una maggiorazione invece che una minorazione.

[dan952]

Vediamo se mi ricordo...

Dobbiamo verificare che esiste $M>0$ tale che $|\root[5]{y_1(x)}-\root[5]{y_2(x)}| \leq M|y_1(x)-y_2(x)|$ per ogni $(x,y_1(x))$ e $(x,y_2(x))$, in particolare $|\root[5]{y_1(x)}-0| \leq M|y_1(x)-0|$ ma questo non è vero, infatti supponiamo che esista $M>0$ la disuguaglianza smette di valere non appena $|y_1(x)| \leq \frac{1}{M^{5/4}}$...

[cande95]

Grazie mille, ho capito il "trucchetto", io sbattevo la testa su quella maledetta disuguaglianza, in verità basta considerare un caso particolare e far vedere che non vale sempre quella disuguaglianza, ovvero non esiste un M tale per cui la disuguaglianza è sempre verificata. Già che ci sono volevo chiedere conferma di una cosa:

\( \begin{cases} y'=y^4 \\ y(0)=0 \end{cases} \)

problema di Cauchy di cui mi si chiede di dimostrare che esiste un'unica soluzione. E' sufficiente affermare che \( f(t,y(t))=y^4(t) \) è continua e differenziabile con continuità per dedurre ciò, corretto?

[dan952]

Si mi pare fosse condizione necessaria e sufficiente per la locale lipschtzianità infatti se è continua la derivata allora è limitata localmente.