Dimostrare limx->senx/x

[Heartagram1]

il mio prof ha detto ke ci fa saltare l'esame di mate se risolviamo qsto quesito :

xkè x dimostrare il lim x->0 senx/x non si può usare il teorema di de l'hopital?


grazie x la disponibilità!

[Sk_Anonymous]

Il motivo è dato dal fatto che così facendo si entrerebbe in un circolo vizioso. Per rendercene conto calcoliamo la derivata della funzione $sin x$ sfruttando la definizione formale...

$d/dx sin x = lim _(h->0) (sin(x+h)-sin x)/h$ (1)

Se ricordiamo la formula di trigonometria...

$sin a -sin b = 2 cos ((a+b)/2) sin((a-b)/2)$ (2)

... otteniamo...

$lim_(h->0) (sin(x+h)-sin x)/h$ =

$lim _(h->0) sin (h/2)/(h/2) cos (x+h/2)$ (3)

Sfruttando il 'limite fondamentale'...

$lim_(e->0) sin e/e=1$ (4)

... si arriva a determinare che è...

$d/dx sin x = cos x$ (5)

E' chiaro a questo punto che se per arrivare alla (5) si è fatto uso della (4) non si può invocare poi la (5) per dimostrare che la (4) è vera...

cordiali saluti

lupo grigio

[Heartagram1]

grazie mille lupo grigio!

[Principe2]

guarda te che coincidenza!!!! stavo pensando proprio di mettere un post in cui si richiede per esercizio di dimostrare perchè quel limite notevole non si può dimostrare con de l'hopital...

[Sk_Anonymous]

In effetti non a caso si chiama 'limite notevole' o 'limite fondamentale'. In un certo senso possiamo dire che una buona parte dell'analisi matematica come la conosciamo si basa proprio su questo limite. Una domanda invece che mi sono sempre posto è la seguente: è possibile una dimostrazione di detto limite che non sia di tipo 'geometrico'?...

cordiali saluti

lupo grigio

[cavallipurosangue]

Ma come mai allora se applico comunque de l'Hopital, il limite torna giusto?