Dimostrare la lipschitzianità

[zluigi1]

Salve a tutti e grazie dell'aiuto.
Ho un sistema differenziale della forma:
$y'=f(y,a,b)
$y(0)=y_0

in particolare è questo:
$ (y_1)'= -K(y_2)a + c sin b
$ (y_2)'= -t + K (y_1) +cos b

dove $K,t,c$ sono costanti, le variabili $a,b$ sono dei controlli
ho teoremi di unicità solo se $|f(y,a,b)-f(x,a,b)|

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gugo82

10 nov 2009, 22:12

Per mostrare che una funzione vettoriale $f(x,a,b)=(f_1(x,a,b),f_2(x,a,b))$ è lipschitziana risp. a $x$ basta mostrare che sono di Lipschitz risp. a $x$ le componenti $f_1,f_2$.

Da quanto scrivi (ossia $K,t,c$ costanti) hai $f_1(x_1,x_2,a,b)=-aK*x_2+c*sin b$ ed $f_2(x_1,x_2,a,b)=K*x_1-t+cos b$, quindi le $f_1,f_2$ sono funzioni affini di $x=(x_1,x_2)$: visto che le funzioni affini sono di Lipschitz, la $f$ è Lipschitz risp. a $x$.


Dire che una funzione $g(x_1,x_2)$ è affine in $x=(x_1,x_2)$ vuol dire che esistono tre numeri reali $alpha_1,alpha_2,beta$ tali che:

$g(x_1,x_2)=alpha_1x_1+alpha_2x_2+beta$

Che una tale $g(x_1,x_2)$ sia Lipschitz in $RR^2$ è evidente: infatti presi $x=(x_1,x_2),y=(y_1,y_2) \in RR^2$ si ha:

$|g(x_1,x_2)-g(y_1,y_2)|=|alpha_1(x_1-y_1)+alpha_2(x_2-y_2)|<=|alpha_1|*|x_1-y_1|+|alpha_2|*|x_2-y_2|<=(|alpha_1|+|alpha_2|)*|x-y|$

(nell'ultimo passaggio ho usato le ovvie maggiorazioni $|x_1-y_1|,\ |x_2-y_2|<=|x-y|$, ove $|x-y|=sqrt(|x_1-y_1|^2+|x_2-y_2|^2)$), ovvero:

$|g(x)-g(y)|<=L*|x-y| \quad$ con $\quad L=|alpha_1|+|alpha_2|$.

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zluigi1

11 nov 2009, 11:13

Grazie mille!!! Devo dire che vistaq la spiegazione mi sento molto idiota!
a presto
Luigi

ps
Può essere che io lo sia davvero molto idiota

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[gugo82]

Per mostrare che una funzione vettoriale $f(x,a,b)=(f_1(x,a,b),f_2(x,a,b))$ è lipschitziana risp. a $x$ basta mostrare che sono di Lipschitz risp. a $x$ le componenti $f_1,f_2$.

Da quanto scrivi (ossia $K,t,c$ costanti) hai $f_1(x_1,x_2,a,b)=-aK*x_2+c*sin b$ ed $f_2(x_1,x_2,a,b)=K*x_1-t+cos b$, quindi le $f_1,f_2$ sono funzioni affini di $x=(x_1,x_2)$: visto che le funzioni affini sono di Lipschitz, la $f$ è Lipschitz risp. a $x$.


Dire che una funzione $g(x_1,x_2)$ è affine in $x=(x_1,x_2)$ vuol dire che esistono tre numeri reali $alpha_1,alpha_2,beta$ tali che:

$g(x_1,x_2)=alpha_1x_1+alpha_2x_2+beta$

Che una tale $g(x_1,x_2)$ sia Lipschitz in $RR^2$ è evidente: infatti presi $x=(x_1,x_2),y=(y_1,y_2) \in RR^2$ si ha:

$|g(x_1,x_2)-g(y_1,y_2)|=|alpha_1(x_1-y_1)+alpha_2(x_2-y_2)|<=|alpha_1|*|x_1-y_1|+|alpha_2|*|x_2-y_2|<=(|alpha_1|+|alpha_2|)*|x-y|$

(nell'ultimo passaggio ho usato le ovvie maggiorazioni $|x_1-y_1|,\ |x_2-y_2|<=|x-y|$, ove $|x-y|=sqrt(|x_1-y_1|^2+|x_2-y_2|^2)$), ovvero:

$|g(x)-g(y)|<=L*|x-y| \quad$ con $\quad L=|alpha_1|+|alpha_2|$.

[zluigi1]

Grazie mille!!! Devo dire che vistaq la spiegazione mi sento molto idiota!
a presto
Luigi

ps
Può essere che io lo sia davvero molto idiota