Dimostrare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
Siano $a_1,.....,a_n$ e $b_1,....,b_n$ numeri complessi. Allora
$|\sum_{i=1}^n a_ib_i|^2$ $<=$ $\sum_{i=1}^n a_i^2$ $*$ $\sum_{i=1}^n b_i^2$
Qualcuno può aiutarmi? Riesco a dimostrarlo solo con la norma ma con la sommatoria finisco sempre ad un punto morto!
$|\sum_{i=1}^n a_ib_i|^2$ $<=$ $\sum_{i=1}^n a_i^2$ $*$ $\sum_{i=1}^n b_i^2$
Qualcuno può aiutarmi? Riesco a dimostrarlo solo con la norma ma con la sommatoria finisco sempre ad un punto morto!
Risposte
La dimostrazione è sempre la stessa...
Detti [tex]$a=(a_1,\ldots ,a_n),\ b=(b_1,\ldots ,b_n)$[/tex], considera il vettore [tex]$a+\lambda\ b$[/tex], [tex]$\lambda \in \mathbb{R}$[/tex], e calcola esplicitamente [tex]\sum_{i=1}^n (a_i+\lambda\ b_i)^2[/tex]; vedrai che esce fuori un polinomio di secondo grado in [tex]$\lambda$[/tex], il quale assume evidentemente solo valori [tex]$\geq 0$[/tex] per ogni valore di [tex]$\lambda \in \mathbb{R}$[/tex]; pertanto tale polinomio verifica la condizione [tex]$\Delta \leq 0$[/tex]; da [tex]$\Delta \leq 0$[/tex] segue C-S.
Detti [tex]$a=(a_1,\ldots ,a_n),\ b=(b_1,\ldots ,b_n)$[/tex], considera il vettore [tex]$a+\lambda\ b$[/tex], [tex]$\lambda \in \mathbb{R}$[/tex], e calcola esplicitamente [tex]\sum_{i=1}^n (a_i+\lambda\ b_i)^2[/tex]; vedrai che esce fuori un polinomio di secondo grado in [tex]$\lambda$[/tex], il quale assume evidentemente solo valori [tex]$\geq 0$[/tex] per ogni valore di [tex]$\lambda \in \mathbb{R}$[/tex]; pertanto tale polinomio verifica la condizione [tex]$\Delta \leq 0$[/tex]; da [tex]$\Delta \leq 0$[/tex] segue C-S.
Il problema è che non capisco come posso prendere il vettore $a+lambdab$ che è una combinazione lineare dei due vettori se il testo parla del prodotto dei due vettori...
Sinceramente non capisco il tuo dubbio. È un trucco come molti altri per ottenere una dimostrazione.
Pensa al teorema di Lagrange, ad esempio...
Pensa al teorema di Lagrange, ad esempio...
Ok lo riguardo e tento di convincermi! Grazie!
Ok scusa ci sono arrivata! Avevo decisamente il cervello annebbiato!!!! Grazie mille!
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