Dimostrare la convergenza di questa serie
Qualcuno saprebbe dirmi cm si fa a dimostare che la serie telescopica $\sum_{n=1}^N 1/sqrt(n)-1/sqrt(n+1)$ converge??? perchè a me facendo un confronto asintotico mi viene che che si comporta cm $\sum_{n=1}^N 1/n$ che diverge e quindi non riesco a spiegarmelo!!!
Grazie per l' aiuto
Grazie per l' aiuto
Risposte
facendo il minimo comune multiplo l'argomento della serie è: $(sqrt(n+1)-sqrtn)/sqrt(n^2+n)$, razionalizziamo "alla rovescia" e otteniamo:
$1/((sqrt(n^2+n)*(sqrt(n+1)+sqrtn))$, svolgendo i calcoli si arriva a:$ 1/(sqrt(n^3+2n^2+n)+sqrt(n^3+n^2))$ che è infinitesima di ordine $3/2$ che è > di 1. La serie allora converge. In soldoni si comporta come $sum_(n=1)^(oo)1/sqrt(n^3)$
$1/((sqrt(n^2+n)*(sqrt(n+1)+sqrtn))$, svolgendo i calcoli si arriva a:$ 1/(sqrt(n^3+2n^2+n)+sqrt(n^3+n^2))$ che è infinitesima di ordine $3/2$ che è > di 1. La serie allora converge. In soldoni si comporta come $sum_(n=1)^(oo)1/sqrt(n^3)$
Credo che sia più semplice calcolare veramente la somma della serie: siccome
$sum_{n=1}^N (1/(sqrt{n}) - 1/(sqrt{n+1})) = (1-1/sqrt{2})+(1/sqrt{2}-1/sqrt{3})+(1/sqrt{3}-1/sqrt{4})+...+(1/sqrt{N}-1/(sqrt{N+1})) = 1-1/(sqrt{N+1}) $
la somma della serie è $1$ e quindi la serie converge.
$sum_{n=1}^N (1/(sqrt{n}) - 1/(sqrt{n+1})) = (1-1/sqrt{2})+(1/sqrt{2}-1/sqrt{3})+(1/sqrt{3}-1/sqrt{4})+...+(1/sqrt{N}-1/(sqrt{N+1})) = 1-1/(sqrt{N+1}) $
la somma della serie è $1$ e quindi la serie converge.
Si ora mi è chiaro tuttavia cosa nn va in questi due ragionamenti che ho fatto?
Cmq il problema mio era di spiegarlo con confronti asintotici dovevo sepcificarte scusate!!
1)$((sqrt(n+1)-sqrt(n))*(sqrt(n^2+n)))/(n^2+n)$ So che in effetti conviene razionalizzare cm hai fatto tu dato che si elide il termine $n$ e cmq facendo in questo modo mi viene che si comporta cm $1/n^2$ ma credo che il ragionamento sia scorretto perchè a me viene $(sqrt(n^3+2n^2+n)-sqrt(n^3+n^2))/(n^2+n)$ che dovrebbe comportarsi cm ho detto io ma il numeratore tende a 0 per $n$ grandi quindi non lo so..Sapreste spiegarmi?
2)Il primo approccio che ho dato a questa serie è che $(sqrt(n+1)-sqrtn)/sqrt(n^2+n)$, si può semplificare in questo modo $(sqrt(n+1)-sqrtn)/((n)*sqrt(1+1/n))$ che dovrebbe comportarsi cm $1/n$..ma ovviamente è sbagliato perchè questa serie diverge e quella iniziale no!! Eppure da un punto di vista teorico n questa parte nn mi sembra di aver fatto errori...Sapete dirmi quindi dove questo ragionamento toppa??
Grazie per la pazienza!
Cmq il problema mio era di spiegarlo con confronti asintotici dovevo sepcificarte scusate!!
1)$((sqrt(n+1)-sqrt(n))*(sqrt(n^2+n)))/(n^2+n)$ So che in effetti conviene razionalizzare cm hai fatto tu dato che si elide il termine $n$ e cmq facendo in questo modo mi viene che si comporta cm $1/n^2$ ma credo che il ragionamento sia scorretto perchè a me viene $(sqrt(n^3+2n^2+n)-sqrt(n^3+n^2))/(n^2+n)$ che dovrebbe comportarsi cm ho detto io ma il numeratore tende a 0 per $n$ grandi quindi non lo so..Sapreste spiegarmi?
2)Il primo approccio che ho dato a questa serie è che $(sqrt(n+1)-sqrtn)/sqrt(n^2+n)$, si può semplificare in questo modo $(sqrt(n+1)-sqrtn)/((n)*sqrt(1+1/n))$ che dovrebbe comportarsi cm $1/n$..ma ovviamente è sbagliato perchè questa serie diverge e quella iniziale no!! Eppure da un punto di vista teorico n questa parte nn mi sembra di aver fatto errori...Sapete dirmi quindi dove questo ragionamento toppa??
Grazie per la pazienza!
"SenzaCera":
Si ora mi è chiaro tuttavia cosa nn va in questi due ragionamenti che ho fatto?
Cmq il problema mio era di spiegarlo con confronti asintotici dovevo sepcificarte scusate!!
2)Il primo approccio che ho dato a questa serie è che $(sqrt(n+1)-sqrtn)/sqrt(n^2+n)$, si può semplificare in questo modo $(sqrt(n+1)-sqrtn)/((n)*sqrt(1+1/n))$ che dovrebbe comportarsi cm $1/n$..ma ovviamente è sbagliato perchè questa serie diverge e quella iniziale no!! Eppure da un punto di vista teorico n questa parte nn mi sembra di aver fatto errori...Sapete dirmi quindi dove questo ragionamento toppa??
Grazie per la pazienza!
è vero che la serie può diventare $(sqrt(n+1)-sqrtn)/((n)*sqrt(1+1/n))$ ma questa espressione NON si comporta come $1/n$, come ti ho dimostrato infatti il tutto si comporta come $sum_(n=1)^oo 1/sqrt(n^3)$ e deve tornare questo risultato con qualsiasi procedimento o semplificazione.
"SenzaCera":
Il primo approccio che ho dato a questa serie è che $(sqrt(n+1)-sqrtn)/sqrt(n^2+n)$, si può semplificare in questo modo $(sqrt(n+1)-sqrtn)/((n)*sqrt(1+1/n))$ che dovrebbe comportarsi cm $1/n$
Qui tu sbagli perché:
$(sqrt(n+1)-sqrtn)/sqrt(n^2+n)=(sqrt(n)*(sqrt(1+1/n)-1))/(n*sqrt(1+1/n))=(sqrt(1+1/n)-1)/(sqrt(n)*sqrt(1+1/n))=(sqrt(1+1/n)-1)/(sqrt(n+1))~(1+1/(2n)-1)/(sqrt(n))=(1/(2n))/(sqrt(n))=1/(2sqrt(n^3))$ per $n->+oo$
il che concorda con quanto già dimostrato nel post sopra.
Si ho capito che il comportamento della serie è cm dite voi..il quesito mio è per quale motivo però visto che tutto è sotto radice quadrata tranne un $n$ cioè $(sqrt(n+1)-sqrtn)/((n)*sqrt(1+1/n))$..e quindi per $n->oo$ è il termine $n$ che domina e dovrebbe quindi dare il carattere alla serie!" Forse sbaglio il ragionamento dato che il numeratore tende a 0?(anche se cmq più lentamente dell' $n$ fuori radice)
Grazie per l' aiuto cmq!!
Grazie per l' aiuto cmq!!
"SenzaCera":
Si ho capito che il comportamento della serie è cm dite voi..il quesito mio è per quale motivo però visto che tutto è sotto radice quadrata tranne un $n$ cioè $(sqrt(n+1)-sqrtn)/((n)*sqrt(1+1/n))$..e quindi per $n->oo$ è il termine $n$ che domina e dovrebbe quindi dare il carattere alla serie!" Forse sbaglio il ragionamento dato che il numeratore tende a 0?(anche se cmq più lentamente dell' $n$ fuori radice)
Grazie per l' aiuto cmq!!
mmhh... mi sa che non hai le idee chiarissime sugli infiniti e infinitesimi... non è che $n$ domina perchè è quello di ordine maggiore, poichè tra l'altro è moltiplicato per una radice che tu nel ragionamento sembri aver ignorato. Diciamo che devi arrivare a poter fare un bilancio tra gli ordini di infiniti (o infinitesimi) di numeratore e denominatore e poi tirare la conclusione, ma per fare ciò è necessario saper manipolare questi oggetti. Per farti un esempio stupido, se hai $n^3+n^2$ allora qui "domina" $n^3$ per $ntooo$, mentre se prendi $n^3*n^2$ allora l'ordine di infinito totale non è 3 come nel caso precedente ma 5 ( detto brutalmente si sommano gli ordini). Esistono poi altre piccole regolette che puoi trovare su qualsiasi testo di analisi.
"Covenant":
[quote="SenzaCera"]Si ho capito che il comportamento della serie è cm dite voi..il quesito mio è per quale motivo però visto che tutto è sotto radice quadrata tranne un $n$ cioè $(sqrt(n+1)-sqrtn)/((n)*sqrt(1+1/n))$..e quindi per $n->oo$ è il termine $n$ che domina e dovrebbe quindi dare il carattere alla serie!" Forse sbaglio il ragionamento dato che il numeratore tende a 0?(anche se cmq più lentamente dell' $n$ fuori radice)
Grazie per l' aiuto cmq!!
mmhh... mi sa che non hai le idee chiarissime sugli infiniti e infinitesimi... non è che $n$ domina perchè è quello di ordine maggiore, poichè tra l'altro è moltiplicato per una radice che tu nel ragionamento sembri aver ignorato. Diciamo che devi arrivare a poter fare un bilancio tra gli ordini di infiniti (o infinitesimi) di numeratore e denominatore e poi tirare la conclusione, ma per fare ciò è necessario saper manipolare questi oggetti. Per farti un esempio stupido, se hai $n^3+n^2$ allora qui "domina" $n^3$ per $ntooo$, mentre se prendi $n^3*n^2$ allora l'ordine di infinito totale non è 3 come nel caso precedente ma 5 ( detto brutalmente si sommano gli ordini). Esistono poi altre piccole regolette che puoi trovare su qualsiasi testo di analisi.
[/quote]Bè si quello sotto radice diciamo che l' ho ignorato al denominatore perchè ho pensato che tanto tende ad 1!
IO semplicemnte a primo impatto senza svolgere calcoli ma solo esplciitando $n$ ho pensato che essendo un infinito di ordine superiore a tutto il resto la serie avrebbe preso il carattere di $1/n$ ma mi sbagliavo anche se nn ho capito chiaramente per quale motivo sbaglio..cmq grazie per l' aiuto e la disponjibilità!
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