Dimostrare la convergenza della serie

[Nexus991]

Mi servirebbe un aiuto con questa dimostrazione.
L'idea di fondo credo di averla:
La disuguaglianza fornita dall'esercizio mostra come i termini di una successione all'aumentare dell'indice siano sempre più vicini, dunque dovrebbe essere una successione di Cauchy ed infine convergere.
Ora, non so se il mio ragionamento sia giusto, ne so come dimostrare ciò matematicamente. Qualcuno può darmi una mano?

[dissonance]

Beh, intanto potresti modificare il post precedente e digitare il testo dell'esercizio, invece di allegare una foto. Risparmi molta memoria, permetti al motore di ricerca di trovare l'esercizio in seguito ed eviti che il thread sia reso illeggibile quando il link all'immagine cesserà di funzionare. Grazie.

[vict85]

È immediato verificare che risulta \(\lvert x_n - x_{n-1}\rvert \le r^{n-2}\lvert x_2 - x_1\rvert = r^{n-2}k\). A questo punto devi trovare qualcosa del tipo \(\lvert x_{n+s} - x_{n}\rvert \le f( r, k )\).