Dimostrare la continuità di f(x)= $sqrt(x)$
Buongiorno. Sto studiando in Analisi I la continuità delle funzioni e non riesco a terminare un esercizio, che mi chiede di dimostrare la continuità della funzione f(x)= $sqrt(x)$
Nel mio procedimento ho proceduto tramite definizione di continuità di una funzione ( $AA$ $\epsilon$ >0 $EE$ $\varphi$ >0 : |x - xo| < $\varphi$ $\Rightarrow$ |f(x) - f(xo)|< $\epsilon$
| f(x) - f(xo)| < $\epsilon$
| $sqrt(x)$ - $sqrt(xo)$| <$\epsilon$
| $sqrt(x)$ - $sqrt(xo)$| |$sqrt(x)$ + $sqrt(xo)$| <$\epsilon$ |$sqrt(x)$ + $sqrt(xo)$|
| x - xo| < $\epsilon$ |$sqrt(x)$ + $sqrt(xo)$|
Il mio problema è che non riesco a terminare la dimostrazione in quanto dall’ultima riga che ho scritto, se pongo | x - xo| < $\varphi$ (per la definizione di continuità) non riesco a trovare una relazione tra $\varphi$, $\epsilon$ e xo, dimostrando così che f(x)= $sqrt(x)$ è continua.
Grazie infinite!
Cristian
Nel mio procedimento ho proceduto tramite definizione di continuità di una funzione ( $AA$ $\epsilon$ >0 $EE$ $\varphi$ >0 : |x - xo| < $\varphi$ $\Rightarrow$ |f(x) - f(xo)|< $\epsilon$
| f(x) - f(xo)| < $\epsilon$
| $sqrt(x)$ - $sqrt(xo)$| <$\epsilon$
| $sqrt(x)$ - $sqrt(xo)$| |$sqrt(x)$ + $sqrt(xo)$| <$\epsilon$ |$sqrt(x)$ + $sqrt(xo)$|
| x - xo| < $\epsilon$ |$sqrt(x)$ + $sqrt(xo)$|
Il mio problema è che non riesco a terminare la dimostrazione in quanto dall’ultima riga che ho scritto, se pongo | x - xo| < $\varphi$ (per la definizione di continuità) non riesco a trovare una relazione tra $\varphi$, $\epsilon$ e xo, dimostrando così che f(x)= $sqrt(x)$ è continua.
Grazie infinite!
Cristian
Risposte
Intanto, dovresti rivedere la definizione di continuità. Inoltre, ammesso e non concesso che l'artificio convenga, anche a secondo membro dovresti avere $|sqrtx+sqrtx_0|$. Infine, il modulo è superfluo.
P.S.
Volendo, dopo aver dimostrato la continuità della funzione sottostante:
puoi anche concludere mediante il teorema sulla continuità della funzione inversa.
P.S.
Volendo, dopo aver dimostrato la continuità della funzione sottostante:
$[y=x^2] ^^ [x gt=0]$
puoi anche concludere mediante il teorema sulla continuità della funzione inversa.
@Criss: Oltre a ciò che ti ha già suggerito Noodles, dimostra che per ogni $a \ge 0$ e per ogni $b \ge 0$ è $|\sqrt{a}-\sqrt{b}| \le \sqrt{|a-b|}$. Da questa disuguaglianza, puoi concludere con un opportuno $\delta$.
[xdom="Mephlip"]Inoltre, per cortesia: modifica il tuo messaggio cancellando la foto e sostituendo il testo del messaggio con le formule integrate al forum (di cui trovi un tutorial qui). Infatti, esse vengono cancellate dai siti di upload dopo un po' e ciò rende il messaggio illeggibile; ricorda che il forum è un luogo pubblico, in cui si aiuta non soltanto l'autore del post ma anche gli utenti che in futuro leggeranno questo post. Grazie![/xdom]
[xdom="Mephlip"]Inoltre, per cortesia: modifica il tuo messaggio cancellando la foto e sostituendo il testo del messaggio con le formule integrate al forum (di cui trovi un tutorial qui). Infatti, esse vengono cancellate dai siti di upload dopo un po' e ciò rende il messaggio illeggibile; ricorda che il forum è un luogo pubblico, in cui si aiuta non soltanto l'autore del post ma anche gli utenti che in futuro leggeranno questo post. Grazie![/xdom]
Grazie mille a tutti per le risposte!
Procederò in entrambi i modi suggeriti
Procederò in entrambi i modi suggeriti
"Criss":
Nel mio procedimento ho proceduto tramite definizione di continuità di una funzione ($in$ E>0, $in$ S>0 : |x - xo|$ |f(x) - f(xo)| < E).
$\forall$, $\exists$, $\epsilon$, $\delta$, $x_0$.
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