Dimostrare la compattezza di un insieme
Devo dimostrare che il seguente insieme $\Omega={(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^4+y^6+xy\le16}$ è compatto.
Per dimostrare che è limitato, bisogna vedere come si comporta all'infinito la funzione $f(x,y)=x^4+y^6-xy$,
in particolare si ha che $\lim_{x^2+y^2\to+\infty} f(x,y)=lim_{u^2+v^2\to+\infty} u^12+v^12+u^3v^2$ dove ho effettuato il cambio di variabili $x=u^3 \, \ y=v^2$. In polari si ha dunque
$\lim_{\rho\to+\infty}\rho^12(\cos^12\theta+\sin^12\theta)+\rho^5\cos^3\theta\sin^2\theta \ge \rho^12\cdot m-\rho^5 \to+\infty$
Dove $m=min{\cos^12\theta+\sin^12\theta:\theta\in[0,2\pi]}>0$
Quindi all'infinito si ha che la funzione tende a più infinito, mentre dalla relazione data si deve avere $f(x,y)\le16$, quindi $\Omega$ è necessariamente limitato.
Ora però non so bene come dimostrare la chiusura.
L'esercizio chiede anche di dimostrare che $\partial\Omega$ è connesso, ed in questo caso davvero non so dove mettere mano.
Per dimostrare che è limitato, bisogna vedere come si comporta all'infinito la funzione $f(x,y)=x^4+y^6-xy$,
in particolare si ha che $\lim_{x^2+y^2\to+\infty} f(x,y)=lim_{u^2+v^2\to+\infty} u^12+v^12+u^3v^2$ dove ho effettuato il cambio di variabili $x=u^3 \, \ y=v^2$. In polari si ha dunque
$\lim_{\rho\to+\infty}\rho^12(\cos^12\theta+\sin^12\theta)+\rho^5\cos^3\theta\sin^2\theta \ge \rho^12\cdot m-\rho^5 \to+\infty$
Dove $m=min{\cos^12\theta+\sin^12\theta:\theta\in[0,2\pi]}>0$
Quindi all'infinito si ha che la funzione tende a più infinito, mentre dalla relazione data si deve avere $f(x,y)\le16$, quindi $\Omega$ è necessariamente limitato.
Ora però non so bene come dimostrare la chiusura.
L'esercizio chiede anche di dimostrare che $\partial\Omega$ è connesso, ed in questo caso davvero non so dove mettere mano.
Risposte
@Bremen: in ogni caso non ci perdere troppo la testa, nota che alla fin fine tutti i metodi finiscono per fare esattamente lo stesso conto che hai fatto tu, ovvero dimostrare che il bordo è omeomorfo a \(\mathbb S^1\) via la trasformazione \(x\mapsto x/|x|\). Gira e volta quello è il conto da fare. (Questo lo dico anche a Lebesgue: in pratica questo è uno dei primi metodi che ci deve venire in mente).
[ot]Quanto alla dimostrazione di quella proprietà degli insiemi stellati, io l'ho presa da Evans. Si fa così. Sia \(\Omega\) l'insieme stellato dal bordo regolare. Fissiamo \(x\in\partial \Omega\). Localmente intorno a \(x\), esistono \(\epsilon,\delta>0\) tali che \(y\in \Omega\cap B(x, \delta)\) se e solo se \(\frac{y-x}{|y-x|}\cdot n\le \epsilon\). (Questo è vero se \(\Omega=\mathbb R^n_+\) e \(n=(0,0,\ldots,1)\). Quindi è vero localmente per qualsiasi insieme con il bordo regolare). Quindi in particolare
\[
\limsup_{y\to x, y\in\Omega} \frac{y-x}{|y-x|}\cdot n\le 0.\]
Prendendo \(y=\lambda x\), con \(\lambda\in(0,1)\), in questo limsup, si ottiene che
\[
n\cdot \frac{-x}{|x|}\le 0.\][/ot]
[ot]Quanto alla dimostrazione di quella proprietà degli insiemi stellati, io l'ho presa da Evans. Si fa così. Sia \(\Omega\) l'insieme stellato dal bordo regolare. Fissiamo \(x\in\partial \Omega\). Localmente intorno a \(x\), esistono \(\epsilon,\delta>0\) tali che \(y\in \Omega\cap B(x, \delta)\) se e solo se \(\frac{y-x}{|y-x|}\cdot n\le \epsilon\). (Questo è vero se \(\Omega=\mathbb R^n_+\) e \(n=(0,0,\ldots,1)\). Quindi è vero localmente per qualsiasi insieme con il bordo regolare). Quindi in particolare
\[
\limsup_{y\to x, y\in\Omega} \frac{y-x}{|y-x|}\cdot n\le 0.\]
Prendendo \(y=\lambda x\), con \(\lambda\in(0,1)\), in questo limsup, si ottiene che
\[
n\cdot \frac{-x}{|x|}\le 0.\][/ot]
@dissonance: scusa mi ero dimenticato di risponderti! Ti ringrazio per la dimostrazione, finirò (di nuovo) a sfogliare l'Evans!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo