Dimostrare insieme limitato superiormente

[reanto91]

Salve avrei bisogno del vostro aiuto riguardo questo esercizio:

Sia

[math]A\subseteq R [/math]

limitato superiormente.
Si dimostri che:

[math]\left ( a \right )\forall t< supA[/math]

[math] A\cap ]t,supA[\neq \varnothing [/math]

[math](b)\forall t\in \mathbb{R}:[/math]

[math]t\geq sup(A)\Leftrightarrow \forall t\in A t\geq a[/math]

Inoltre si dica se vale la seguente equivalenza:

[math]\forall t\in \mathbb{R}: t> sup(A)\Leftrightarrow \forall t\in A t> a[/math]

se mi potete aiutare..
grazie..

[Studente Anonimo]

Innanzitutto vediamo di scrivere in maniera corretta il testo dell'esercizio.


Sia

[math]A\subseteq\mathbb{R}\\[/math]

non vuoto limitato superiormente. Si dimostri che:

a)

[math]\forall\,t < \sup(A) : A \, \cap \, ] \, t,\,\sup(A) ] \ne \varnothing \; ;\\[/math]

b)

[math]\forall\,t\in\mathbb{R} : t \ge \sup(A) \Leftrightarrow \forall\,a \in A, \, t \ge a \;.\\[/math]

Inoltre si dica se vale la seguente equivalenza:

[math]\forall\,t\in\mathbb{R} : t > \sup(A) \Leftrightarrow \forall\,a \in A, \, t > a \;.\\[/math]

Trattasi di un esercizio di comprensione del significato di sup.


Definizione. Se

[math]A[/math]

è un sottoinsieme non vuoto di

[math]\mathbb{R}\\[/math]

, allora:

1.

[math]A[/math]

è superiormente limitato se ammette un maggiorante, cioè se esiste

[math]m\in\mathbb{R} : \alpha\le m \; \; \forall\,\alpha\in A[/math]

. In tal caso una delle proprietà di

[math]\mathbb{R}[/math]

_

assicura che esiste

[math]\small \sup(A)=\min\left\{ m\in\mathbb{R} : m \; è \; magg. \; di \; A \right\}\in\mathbb{R}[/math]

.
(Invece l'esistenza di

[math]\small \inf(A)=\max\left\{ m\in\mathbb{R} : m \; è \; min. \; di \; A \right\}\in\mathbb{R}[/math]

,
nel caso in cui

[math]A[/math]

sia un sottoinsieme non vuoto inferiormente limitato, è
conseguenza dell'esistenza del sup.)

2.

[math]A[/math]

è superiormente illimitato se non ammette un maggiorante, cioè

[math]\forall\,m\in\mathbb{R} \; \exists \, \alpha \in A : \alpha > m[/math]

. In tal caso si pone

[math]\sup(A)=+\infty\\[/math]

.


Dunque, sia

[math]A\subseteq\mathbb{R}\\[/math]

non vuoto limitato superiormente.

a) Sia

[math]t < \sup(A).[/math]

Allora

[math]t[/math]

non è maggiorante di

[math]A[/math]

, perché se

[math]t[/math]

_
fosse maggiorante di

[math]A[/math]

allora

[math]t\in\left\{m\in\mathbb{R} : m \; è \; magg. \; di \; A \right\}[/math]

_
quindi

[math]\sup(A)=\min\left\{m\in\mathbb{R} : m \; è \; magg. \; di \; A \right\}\le t[/math]

. Poiché

[math]t\\[/math]

non è maggiorante di

[math]A[/math]

, esiste ... [prova a continuare da solo ...]

b) [Dimostrabile in una riga, provaci!]

Sull'equivalenza ti dico che è falsa. Qualche idea sul perché lo sia? :)

[reanto91]

allora provo a continuare:
Poiché

[math]t[/math]

non è maggiorante di

[math]A[/math]

, esiste
allora il minimo dell'insieme dei maggioranti di

[math]A[/math]

.

(b) diciamo che

[math]t\in\mathbb{R}[/math]

è l'estremo superiore di A se t è il minimo dei maggioranti.
essendo t minimo dei maggioranti di A si a che

[math]\forall\,t\in\mathbb{R} : t \ge \sup(A) \Leftrightarrow \forall\,a \in A, \, t \ge a \;.\\[/math]

..


ditemi se è sbagliato...
non sto riuscendo a capire come continuare..
se mi aiutate..
grazie..

[Studente Anonimo]

Allora...


a) [...] esiste

[math]a \in A : t < a\\[/math]

;

[math]a \le \sup(A)[/math]

perché

[math]\sup(A)[/math]

è un maggiorante di

[math]A\\[/math]

;
quindi

[math]a\in A \,\cap\, ]\,t,\,\sup(A)\,][/math]

.



b) Osserviamo che

[math]\left\{m\in\mathbb{R} : m \; è \; maggiorante \; di \; A\right\}=[\,\sup(A),\,+\infty\,[[/math]

_
perché se

[math]m[/math]

è maggiorante di

[math]A[/math]

, allora ogni

[math]m' \ge m[/math]

è maggiorante di

[math]A[/math]

,
perciò

[math]t \ge \sup(A) \, \Leftrightarrow \, t \; è \; maggiorante \; di \; A \, \Leftrightarrow \; \forall\,a\in A, \,t \ge a\\[/math]

.


Dai, ora prova a trovare un (contro)esempio per confutare l'equivalenza ;)