Dimostrare il numero di radici di una equazione
Ciao a tutti.
Sono alle prese con il seguente esercizio:
"Dimostrare che l'equazione $ x^2014 +x^2/2 -cos(x) -xsin(x)=0 $ ha esattamente due radici reali. Elencare tutti e dimostrare almeno un teorema utilizzato".
Ora. Fatta eccezione per le dimostrazioni, deduco che non si possa procedere con il teorema degli zeri visto che la funzione è definita su tutto R e che $ lim_(x -> +oo) = lim_(x -> -oo) = +oo $ quindi non è soddisfatta l'ipotesi stessa del teorema. L'unica soluzione che ho trovato percorribile è quella grafica. E' possibile approcciare al problema in maniera differente?
Grazie a tutti anticipatamente.
K_
Sono alle prese con il seguente esercizio:
"Dimostrare che l'equazione $ x^2014 +x^2/2 -cos(x) -xsin(x)=0 $ ha esattamente due radici reali. Elencare tutti e dimostrare almeno un teorema utilizzato".
Ora. Fatta eccezione per le dimostrazioni, deduco che non si possa procedere con il teorema degli zeri visto che la funzione è definita su tutto R e che $ lim_(x -> +oo) = lim_(x -> -oo) = +oo $ quindi non è soddisfatta l'ipotesi stessa del teorema. L'unica soluzione che ho trovato percorribile è quella grafica. E' possibile approcciare al problema in maniera differente?
Grazie a tutti anticipatamente.
K_
Risposte
Beh, ma ponendo \(f(x):=x^{2014} + \frac{x^2}{2} - \cos x -x\sin x\) si ha \(f(0)=-1\), dunque... 
Grazie gugo82 
Attualmente quello che mi spiazza è che la traccia richieda esplicitamente "Elencare tutti e dimostrare almeno un teorema utilizzato". Effettivamente la soluzione al problema è immediata considerando lo studio classico della funzione polinomiale in questione. Mi chiedo quale o quali possano essere i teoremi utilizzabili per bypassare lo studio "grafico"...
Attualmente quello che mi spiazza è che la traccia richieda esplicitamente "Elencare tutti e dimostrare almeno un teorema utilizzato". Effettivamente la soluzione al problema è immediata considerando lo studio classico della funzione polinomiale in questione. Mi chiedo quale o quali possano essere i teoremi utilizzabili per bypassare lo studio "grafico"...
Il teorema degli zeri ti assicura l'esistenza di almeno una soluzione in ognuno degli intervalli \(]-\infty,0[\) e \(]0,\infty[\).
La parità della funzione \(f\) ti assicura che ci sono tanti zeri in \(]-\infty ,0[\) quanti ce ne sono in \(]0,\infty[\), ergo basta considerare solo i valori positivi della \(x\).
Se riesci a provare che la funzione \(f\) è strettamente monotona in \(]0,\infty[\), la soluzione dell'equazione assegnata in \(]0,\infty[\) sarebbe unica; per perovare un'asserto sulla monotonia di una funzione derivabile in un intervallo ti basta guardare cosa combina la derivata prima, quindi prova questa strada.
La parità della funzione \(f\) ti assicura che ci sono tanti zeri in \(]-\infty ,0[\) quanti ce ne sono in \(]0,\infty[\), ergo basta considerare solo i valori positivi della \(x\).
Se riesci a provare che la funzione \(f\) è strettamente monotona in \(]0,\infty[\), la soluzione dell'equazione assegnata in \(]0,\infty[\) sarebbe unica; per perovare un'asserto sulla monotonia di una funzione derivabile in un intervallo ti basta guardare cosa combina la derivata prima, quindi prova questa strada.
Già. Grazie tante! Non ci avevo proprio pensato. Mi sei stato davvero d'aiuto
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