Dimostrare esistenza, in una restrizione data, di un flesso

[Frostman]

Buon pomeriggio a tutti avrei bisogno di una mano in questa parte di studio di funzione.
Ho questa funzione definita in questo modo

$ f(x) = { ( log|x|(1+log(log|x|))\ se\ x in (-oo,-1) uu (1, +oo) ),( 0\ se\ x=-1 vv x=1 ):} $

Devo dimostrare che la restrizione di $f$ a $(1, +∞)$ ha esattamente un punto di flesso. Ho pensato di andarmi a calcolare la derivata seconda e vedere dove si annulla. Ma sono giunto a questa espressione che non so più come semplificare, mi chiedo se sia possibile dimostrare questa richiesta senza far uso della derivata seconda.

$ (1-log|x|(log(log|x|)+2))/(x^2log(x)) $

Grazie per l'attenzione!

[Bremen000]

Puoi provare a osservare che il segno della derivata seconda è dettato dal solo numeratore dato che il denominatore è sempre positivo in $(1, + \infty)$.

Inoltre puoi fare i limiti della derivata seconda negli estremi di questo intervallo e cercare di capire se è una funzione crescente o decrescente...

[pilloeffe]

Ciao Frostman,

Oltre a quello che ti ha già scritto correttamente Bremen000, potresti anche osservare che la funzione proposta si annulla in $x = 1 $ (per definizione) e in $x = e^{1/e} \in (1, +\infty) $. Poi mi studierei la derivata prima in $(1, +\infty) $:

$f'(x) = frac{log(log(x)) + 2}{x} $