Dimostrare esistenza, in una restrizione data, di un flesso
Buon pomeriggio a tutti avrei bisogno di una mano in questa parte di studio di funzione.
Ho questa funzione definita in questo modo
Devo dimostrare che la restrizione di $f$ a $(1, +∞)$ ha esattamente un punto di flesso. Ho pensato di andarmi a calcolare la derivata seconda e vedere dove si annulla. Ma sono giunto a questa espressione che non so più come semplificare, mi chiedo se sia possibile dimostrare questa richiesta senza far uso della derivata seconda.
Grazie per l'attenzione!
Ho questa funzione definita in questo modo
$ f(x) = { ( log|x|(1+log(log|x|))\ se\ x in (-oo,-1) uu (1, +oo) ),( 0\ se\ x=-1 vv x=1 ):} $
Devo dimostrare che la restrizione di $f$ a $(1, +∞)$ ha esattamente un punto di flesso. Ho pensato di andarmi a calcolare la derivata seconda e vedere dove si annulla. Ma sono giunto a questa espressione che non so più come semplificare, mi chiedo se sia possibile dimostrare questa richiesta senza far uso della derivata seconda.
$ (1-log|x|(log(log|x|)+2))/(x^2log(x)) $
Grazie per l'attenzione!

Risposte
Puoi provare a osservare che il segno della derivata seconda è dettato dal solo numeratore dato che il denominatore è sempre positivo in $(1, + \infty)$.
Inoltre puoi fare i limiti della derivata seconda negli estremi di questo intervallo e cercare di capire se è una funzione crescente o decrescente...
Inoltre puoi fare i limiti della derivata seconda negli estremi di questo intervallo e cercare di capire se è una funzione crescente o decrescente...
Ciao Frostman,
Oltre a quello che ti ha già scritto correttamente Bremen000, potresti anche osservare che la funzione proposta si annulla in $x = 1 $ (per definizione) e in $x = e^{1/e} \in (1, +\infty) $. Poi mi studierei la derivata prima in $(1, +\infty) $:
$f'(x) = frac{log(log(x)) + 2}{x} $
Oltre a quello che ti ha già scritto correttamente Bremen000, potresti anche osservare che la funzione proposta si annulla in $x = 1 $ (per definizione) e in $x = e^{1/e} \in (1, +\infty) $. Poi mi studierei la derivata prima in $(1, +\infty) $:
$f'(x) = frac{log(log(x)) + 2}{x} $