Dimostrare esistenza delle derivate direzionali

[pocholoco92]

salve
in un esercizio ho trovato difficoltà con il punto
-dimostrare l'esistenza delle derivate direzionali $ (df)/(dv)(0,0)$ per ogni direzione v ma che la funzione non è continua

che la funzione sia continua basta che

$ lim_((x,y) -> (0,0))f(x,y)=f(0,0) $

ma per dimostrare le derivate direzionali??

[Plepp]

Ciao. Ricordi la definizione di derivata direzionale?

[pocholoco92]

si

$ lim_(t -> 0) (f(x+th,y+tk)-f(x,y))/t= $

però usando questa definizione mi risulta $+oo$ e non è possibile perche me lo dice la traccia che devono esistere

[Plepp]

Mmm...posti la funzione per favore?

[pocholoco92]

$ (x^2y)/(x^6+2y^2)$ se (x,y) diverso da (0,0)
0 se (x,y)=(0,0)

[Plepp]

beh, hai ragione mi pare... boh! A meno che non sbagliamo qualcosa entrambi, ma in tutta sincerità la vedo difficile...

[pocholoco92]

beh sono piu sollevato ma non voglio credere che sia la funzione sbagliata perche era un compito di analisi 2
qualcun altro può aiutarci?

[Plepp]

Beh, secondo me l'errore c'è. Il limite dal calcolare è questo:
\[\lim_{t\to 0}\dfrac{\dfrac{h^2t^2\cdot kt}{h^6t^6+2k^2t^2}-0}{t}=\lim_{t\to 0}\dfrac{h^2k\,t^3}{h^6t^7+2k^2t^3}\]
e di certo non vale zero $\forall h,k$ tali che $h^2+k^2=1$ (essendo $(h ,k)$ un versore). La derivata direzionale esiste solo in alcune direzioni, per esempio quelle dei versori degli assi cartesiani (derivate parziali)*.

EDIT: *anzi, solo in quelle direzioni.

[pocholoco92]

si lo so ma a noi interessa per ogni direzione non solo due direzioni particolari

o magari la traccia è sbagliata e voleva dire

dimostrare che pur essendo derivabile (esistono le derivate parziali) nel punto, non è continua

[pocholoco92]

mi metto vergogna di me stesso

questo limite

$ lim_(t -> 0) (h^2kt^3)/(h^6t^7+2k^2t^3)=h^2/(2k) $ e non $+oo$

quindi adesso abbiamo dimostrato che esistono le derivate direzionali per ogni direzione
adesso per dimostrare che la funzione non è continua basta prendere una curva lungo la quale il limite non risulta essere 0
giusto??

[Plepp]

Oddio facciamo proprio schifo...hai ragione Mi sono fatto trarre in inganno da quel $t^7$

Si, per la continuità va bene.